§4.prop.12περὶ τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον περιγράψαι.
주어진 원에 등변이자 등각인 오각형을 외접시키는 것.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ·
주어진 원을 ABΓΔE라 하자.
δεῖ 2 περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον περιγράψαι.
원 ABΓΔE에 등변이자 등각인 오각형을 외접시켜야 한다.
νενοήσθω τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου τῶν γωνιῶν σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, Δ, Ε, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ περιφερείας·
내접하는 오각형의 각의 점(꼭짓점)을 A, B, Γ, Δ, E라 하자. 단, 호 AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EA는 서로 같은 것으로 한다.
καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε ἤχθωσαν τοῦ κύκλου ἐφαπτόμεναι αἱ ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΗ, καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓΔΕ κύκλου κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΚ, ΖΓ, ΖΛ, ΖΔ.
καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΚΛ εὐθεῖα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓΔΕ κατὰ τὸ Γ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Γ ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΚΛ·
그리고 A, B, Γ, Δ, E를 지나 원의 접선 ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΗ가 그려졌다고 하자. 또한 원 ABΓΔE의 중심 Z가 얻어졌다고 하자. 그리고 ZB, ZK, ZΓ, ZΛ, ZΔ가 이어졌다고 하자. 그리고 직선 ΚΛ은 점 Γ에서 원 ABΓΔE에 접하고, 중심 Z로부터 점 Γ에서의 접점으로 ZΓ가 이어져 있으므로, 따라서 ZΓ는 ΚΛ에 수직이다.
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν πρὸς τῷ Γ γωνιῶν.
그러므로 Γ에서의 각 각각은 직각이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.
이와 같은 이유로 점 B, Δ에서의 각들도 직각이다.
καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΓΚ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΖΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΚ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΚ·
그리고 각 ZΓΚ는 직각이므로, 따라서 ZK 위의 정사각형은 ZΓ, ΓΚ 위의 정사각형들의 합과 같다. 이와 같은 이유로 ZK 위의 정사각형은 ZB, BK 위의 정사각형들의 합과도 같다.
ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΚ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΚ ἐστιν ἴσα, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἐστιν ἴσον·
따라서 ZΓ, ΓΚ 위의 정사각형들의 합은 ZB, BK 위의 정사각형들의 합과 같으며, 그 중 ZΓ 위의 정사각형은 ZB 위의 정사각형과 같다.
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ ἐστιν ἴσον.
그러므로 남은 ΓΚ 위의 정사각형은 BK 위의 정사각형과 같다.
ἴση ἄρα ἡ ΒΚ τῇ ΓΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ, καὶ κοινὴ ἡ ΖΚ, δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΚ δυσὶ ταῖς ΓΖ, ΖΚ ἴσαι εἰσίν·
그러므로 BK는 ΓΚ와 같다. 그리고 ZB는 ZΓ와 같고, ZK는 공통이므로, 두 변 BZ, ZK는 두 변 ΓZ, ZK와 각각 같다.
καὶ βάσις ἡ ΒΚ βάσει τῇ ΓΚ ἴση·
그리고 밑변 BK는 밑변 ΓΚ와 같다.
γωνία ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΚ τῇ ὑπὸ ΚΖΓ ἐστιν ἴση· ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΖ τῇ ὑπὸ ΖΚΓ·
따라서 각 BZK는 각 KZΓ와 같고, 각 BKZ는 각 ZKΓ와 같다.
διπλῆ ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΓ τῆς ὑπὸ ΖΚΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ τῆς ὑπὸ ΓΖΛ ἐστι διπλῆ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΛΓ τῆς ὑπὸ ΖΛΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ περιφέρεια τῇ ΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ τῇ ὑπὸ ΓΖΔ. καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ διπλῆ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΓ τῆς ὑπὸ ΛΖΓ·
그러므로 각 BZΓ는 각 KZΓ의 두 배이고, 각 BKΓ는 각 ZKΓ의 두 배이다. 이와 같은 이유로 각 ΓZΔ는 각 ΓZΛ의 두 배이고, 각 ΔΛΓ는 각 ZΛΓ의 두 배이다. 그리고 호 BΓ는 호 ΓΔ와 같으므로, 각 BZΓ도 각 ΓZΔ와 같다. 그리고 각 BZΓ는 각 KZΓ의 두 배이고, 각 ΔZΓ는 각 ΛZΓ의 두 배이다.
ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΚΖΓ τῇ ὑπὸ ΛΖΓ·
따라서 각 KZΓ도 각 ΛZΓ와 같다.
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΚ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΓΛ ἴση.
또한 각 ZΓΚ도 각 ZΓΛ와 같다.
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΚΓ, ΖΛΓ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΖΓ·
그러므로 두 삼각형 ZKΓ, ZΛΓ는 두 각이 두 각과 각각 같고, 한 변이 한 변과 같으니, 그들의 공통인 변 ZΓ이다.
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ·
따라서 그것들은 남은 변들도 남은 변들과 각각 같고, 남은 각도 남은 각과 같을 것이다.
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΚΓ εὐθεῖα τῇ ΓΛ, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΓ τῇ ΓΛ, διπλῆ ἄρα ἡ ΚΛ τῆς ΚΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΒΚ διπλῆ.
그러므로 직선 ΚΓ는 ΓΛ와 같고, 각 ZKΓ는 각 ZΛΓ와 같다. 그리고 ΚΓ는 ΓΛ와 같으므로, 따라서 ΚΛ은 ΚΓ의 두 배이다. 이와 같은 이유로 ΘΚ도 BK의 두 배임이 증명될 것이다.
καί ἐστιν ἡ ΒΚ τῇ ΚΓ ἴση· καὶ ἡ ΘΚ ἄρα τῇ ΚΛ ἐστιν ἴση.
그리고 BK는 ΚΓ와 같으므로, 따라서 ΘΚ도 ΚΛ과 같다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ΘΗ, ΗΜ, ΜΛ ἑκατέρᾳ τῶν ΘΚ, ΚΛ ἴση·
마찬가지로 ΘΗ, ΗΜ, ΜΛ 각각도 ΘΚ, ΚΛ 각각과 같음이 증명될 것이다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον.
그러므로 오각형 ΗΘΚΛΜ은 등변이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον.
또한 등각이기도 하다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ, καὶ ἐδείχθη τῆς μὲν ὑπὸ ΖΚΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ, τῆς δὲ ὑπὸ ΖΛΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΚΛΜ, καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΛΜ ἐστιν ἴση.
왜냐하면 각 ZKΓ는 각 ZΛΓ와 같고, 각 ZKΓ의 두 배가 각 ΘΚΛ임이 증명되었으며, 각 ZΛΓ의 두 배가 각 ΚΛΜ임이 증명되었으므로, 따라서 각 ΘΚΛ도 각 ΚΛΜ과 같다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΚΘΗ, ΘΗΜ, ΗΜΛ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΛ, ΚΛΜ ἴση·
마찬가지로 각 ΚΘΗ, ΘΗΜ, ΗΜΛ 각각도 각 ΘΚΛ, ΚΛΜ 각각과 같음이 증명될 것이다.
αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ, ΘΚΛ, ΚΛΜ, ΛΜΗ, ΜΗΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
그러므로 다섯 각 ΗΘΚ, ΘΚΛ, ΚΛΜ, ΛΜΗ, ΜΗΘ는 서로 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον.
그러므로 오각형 ΗΘΚΛΜ은 등각이다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον, καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον.
그리고 등변임도 증명되었으며, 또한 원 ABΓΔE에 외접되었다.
· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
; 이것이 하고자 했던 일이다.