§4.prop.12περὶ τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον περιγράψαι.
与えられた円に、等辺かつ等角な五角形を外接させること。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ·
与えられた円をABΓΔEとせよ。
δεῖ 2 περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον περιγράψαι.
円ABΓΔEに等辺かつ等角な五角形を外接させねばならない。
νενοήσθω τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου τῶν γωνιῶν σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, Δ, Ε, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ περιφερείας·
内接する五角形の角の点（頂点）をA, B, Γ, Δ, Eと考えよ。 ただし、弧AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EAは等しいものとする。
καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε ἤχθωσαν τοῦ κύκλου ἐφαπτόμεναι αἱ ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΗ, καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓΔΕ κύκλου κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΚ, ΖΓ, ΖΛ, ΖΔ.
καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΚΛ εὐθεῖα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓΔΕ κατὰ τὸ Γ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Γ ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΚΛ·
そして、A, B, Γ, Δ, Eを通り、円の接線ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΗが引かれたとせよ。 また、円ABΓΔEの中心Zが取られたとせよ。 そして、ZB, ZK, ZΓ, ZΛ, ZΔが結ばれたとせよ。 そして、直線ΚΛは点Γにおいて円ABΓΔEに接しており、中心Zから点Γにおける接点へとZΓが結ばれているので、したがってZΓはΚΛに対して垂直である。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν πρὸς τῷ Γ γωνιῶν.
したがって、Γにおける角のそれぞれは直角である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.
これと同じ理由により、点B, Δにおける角も直角である。
καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΓΚ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΖΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΚ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΚ·
そして、角ZΓΚは直角であるので、したがってZK上の正方形はZΓ, ΓΚ上の正方形の和に等しい。 これと同じ理由により、ZK上の正方形はZB, BK上の正方形の和にも等しい。
ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΚ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΚ ἐστιν ἴσα, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἐστιν ἴσον·
したがって、ZΓ, ΓΚ上の正方形の和はZB, BK上の正方形の和に等しく、そのうちZΓ上の正方形はZB上の正方形に等しい。
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ ἐστιν ἴσον.
したがって、残りのΓΚ上の正方形はBK上の正方形に等しい。
ἴση ἄρα ἡ ΒΚ τῇ ΓΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ, καὶ κοινὴ ἡ ΖΚ, δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΚ δυσὶ ταῖς ΓΖ, ΖΚ ἴσαι εἰσίν·
したがって、BKはΓΚに等しい。 そして、ZBはZΓに等しく、 ZKは共通であるので、2つの辺BZ, ZKは2つの辺ΓZ, ZKにそれぞれ等しい。
καὶ βάσις ἡ ΒΚ βάσει τῇ ΓΚ ἴση·
そして、底辺BKは底辺ΓΚに等しい。
γωνία ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΚ τῇ ὑπὸ ΚΖΓ ἐστιν ἴση· ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΖ τῇ ὑπὸ ΖΚΓ·
したがって、角BZKは角KZΓに等しく、角BKZは角ZKΓに等しい。
διπλῆ ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΓ τῆς ὑπὸ ΖΚΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ τῆς ὑπὸ ΓΖΛ ἐστι διπλῆ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΛΓ τῆς ὑπὸ ΖΛΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ περιφέρεια τῇ ΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ τῇ ὑπὸ ΓΖΔ. καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ διπλῆ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΓ τῆς ὑπὸ ΛΖΓ·
したがって、角BZΓは角KZΓの2倍であり、角BKΓは角ZKΓの2倍である。 これと同じ理由により、角ΓZΔは角ΓZΛの2倍であり、角ΔΛΓは角ZΛΓの2倍である。 そして、弧BΓは弧ΓΔに等しいので、角BZΓも角ΓZΔに等しい。 そして、角BZΓは角KZΓの2倍であり、角ΔZΓは角ΛZΓの2倍である。
ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΚΖΓ τῇ ὑπὸ ΛΖΓ·
したがって、角 KZΓも角ΛZΓに等しい。
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΚ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΓΛ ἴση.
また、角ZΓΚも角ZΓΛに等しい。
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΚΓ, ΖΛΓ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΖΓ·
したがって、2つの三角形ZKΓ, ZΛΓは、2つの角が2つの角にそれぞれ等しく、1つの辺が1つの辺に等しく、それらの共通の辺ZΓを持っている。
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ·
したがって、残りの辺も残りの辺にそれぞれ等しく、残りの角も残りの角に等しい。
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΚΓ εὐθεῖα τῇ ΓΛ, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΓ τῇ ΓΛ, διπλῆ ἄρα ἡ ΚΛ τῆς ΚΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΒΚ διπλῆ.
したがって、直線ΚΓはΓΛに等しく、角ZKΓは角ZΛΓに等しい。 そして、ΚΓはΓΛに等しいので、したがってΚΛはΚΓの2倍である。 これと同じ理由により、ΘΚもBKの2倍であることが示される。
καί ἐστιν ἡ ΒΚ τῇ ΚΓ ἴση· καὶ ἡ ΘΚ ἄρα τῇ ΚΛ ἐστιν ἴση.
そして、BKはΚΓに等しいので、したがってΘΚもΚΛに等しい。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ΘΗ, ΗΜ, ΜΛ ἑκατέρᾳ τῶν ΘΚ, ΚΛ ἴση·
同様にして、ΘΗ, ΗΜ, ΜΛのそれぞれも、ΘΚ, ΚΛのそれぞれに等しいことが示される。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον.
したがって、五角形ΗΘΚΛΜは等辺である。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον.
さらに、等角でもあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ, καὶ ἐδείχθη τῆς μὲν ὑπὸ ΖΚΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ, τῆς δὲ ὑπὸ ΖΛΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΚΛΜ, καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΛΜ ἐστιν ἴση.
なぜなら、角ZKΓは角ZΛΓに等しく、角ZKΓの2倍が角ΘΚΛであり、角ZΛΓの2倍が角ΚΛΜであることが示されたので、したがって角ΘΚΛも角ΚΛΜに等しい。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΚΘΗ, ΘΗΜ, ΗΜΛ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΛ, ΚΛΜ ἴση·
同様にして、角ΚΘΗ, ΘΗΜ, ΗΜΛのそれぞれも、角ΘΚΛ, ΚΛΜのそれぞれに等しいことが示される。
αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ, ΘΚΛ, ΚΛΜ, ΛΜΗ, ΜΗΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
したがって、5つの角ΗΘΚ, ΘΚΛ, ΚΛΜ, ΛΜΗ, ΜΗΘは互いに等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον.
したがって、五角形ΗΘΚΛΜは等角である。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον, καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον.
そして、等辺であることも示され、かつ円ABΓΔEに外接している。
· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。