§4.prop.11εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
在给定的圆内接一个等边且等角的五边形。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
设给定的圆为ABΓΔE；那么，必须在圆ABΓΔE内接一个等边且等角的五边形。
Ἐκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗΘ διπλασίονα ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ γωνιῶν τῆς πρὸς τῷ Ζ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, ὥστε τῇ μὲν πρὸς τῷ Ζ γωνίᾳ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΓΑΔ, ἑκατέραν δὲ τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ.
设一个等腰三角形ΖΗΘ，使其在Η、Θ处的每一个角都等于在Ζ处的角的两倍；并在圆ABΓΔE中内接一个与三角形ΖΗΘ等角的三角形AΓΔ，使得角ΓAΔ等于在Ζ处的角，且在Η、Θ处的每一个角都等于AΓΔ、ΓΔA中的每一个角；所以，角AΓΔ、ΓΔA中的每一个也是角ΓAΔ的两倍。
τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ,, ΔΕ, ΕΑ.
ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ γωνιῶν διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, καὶ τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΕ, ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
设角AΓΔ、ΓΔA中的每一个分别被两条直线ΓE、ΔB二等分，并连接AB、BΓ、、ΔE、EA。 因为角AΓΔ、ΓΔA中的每一个角都是角ΓAΔ的两倍，并且它们被直线ΓE、ΔB二等分，所以，ΔAΓ、AΓE、EΓΔ、ΓΔB、BΔA这五个角互相相等。
αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν· αἱ πέντε ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
而相等的角立在相等的圆弧上；所以，AB、BΓ、ΓΔ、ΔE、EA这五条圆弧互相相等。
ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.
在相等的圆弧下对相等的直线；所以，AB、BΓ、ΓΔ、ΔE、EA这五条直线互相相等；所以，五边形ABΓΔE是等边的。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον.
我再说，它也是等角的。
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΒΓΔ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση.
因为圆弧AB等于圆弧ΔE，设公共的圆弧BΓΔ加上去；所以，整个圆弧ABΓΔ等于整个圆弧EΔΓB。
καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒΓΔ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΕ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἐστιν ἴση.
在圆弧ABΓΔ上立着角AEΔ，在圆弧EΔΓB上立着角BAE；所以，角BAE也等于角AEΔ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.
由于同样的原因，角ABΓ、BΓΔ、ΓΔE中的每一个也等于BAE、 AEΔ中的每一个；所以，五边形ABΓΔE是等角的。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.
并且它也被证明是等边的。
εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因而，在给定的圆内接了一个等边且等角的五边形；这就是所要做的事。