§4.prop.13εἰς τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλον ἐγγράψαι.
在给定的等边且等角的五边形内切一个圆。
ἔστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
设给定的等边且等角的五边形为ABΓΔE；那么，必须在五边形ABΓΔE内切一个圆。
τετμήσθω γὰρ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΖ, ΔΖ εὐθειῶν· καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου, καθʼ ὃ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις αἱ ΓΖ, ΔΖ εὐθεῖαι, ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ εὐθεῖαι.
因为，设角BΓΔ、ΓΔE的每一个分别被直线ΓΖ、ΔΖ这两条直线二等分；并且从直线ΓΖ、ΔΖ互相相交的点Ζ起，连接直线ΖB、ΖΑ、ΖΕ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΒΓ, ΓΖ δυσὶ ταῖς ΔΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΒΓΖ τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ ἐστιν ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΖ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῆς ὑπὸ ΓΔΖ, ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΖ, καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΒΖ ἐστι διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΓ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΖ εὐθείας.
因为 BΓ等于ΓΔ，且ΓΖ是公共的，所以，BΓ、ΓΖ这两条直线分别等于ΔΓ、ΓΖ这两条直线；且角BΓΖ等于角ΔΓΖ；所以，底边BZ等于底边ΔΖ，且三角形BΓΖ等于三角形ΔΓΖ，且其余的角将分别等于其余的角，即那些等边所对的角；所以，角ΓBZ等于角ΓΔΖ。 因为角ΓΔE是角ΓΔΖ的两倍，且角ΓΔE等于角ABΓ，角ΓΔΖ等于角ΓBZ；所以，角ΓBA也是角ΓBZ的两倍；所以，角ABZ等于角ΖBΓ；所以，角ABΓ被直线BZ二等分。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΖΑ, ΖΕ εὐθειῶν.
同样地，也将证明角BAE、AEΔ的每一个也分别被直线ΖΑ、 ΖΕ这两条直线二等分。
ἤχθωσαν δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθείας κάθετοι αἱ ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, ΖΛ, ΖΜ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΓΖ, ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΘΓ τῇ ὑπὸ ΖΚΓ ἴση, δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΘΓ, ΖΚΓ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΖΓ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει· ἴση ἄρα ἡ ΖΘ κάθετος τῇ ΖΚ καθέτῳ.
于是，从点Ζ向直线AB、BΓ、ΓΔ、ΔE、EA画垂线ΖΗ、ΖΘ、ΖΚ、ΖΛ、ΖΜ。 因为角ΘΓΖ等于角ΚΓΖ，且直角ΖΘΓ也等于直角ΖΚΓ，那么有ΖΘΓ、ΖΚΓ两个三角形，它们有两个角分别等于两个角，且有一条边分别等于一条边，即它们的公共边ΖΓ，它作为等角之一的对边；所以，它们其余的边也分别等于其余的边；所以，垂线ΖΘ等于垂线ΖΚ。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΖΛ, ΖΜ, ΖΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΘ, ΖΚ ἴση ἐστίν· αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, ΖΛ, ΖΜ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
同样地，也将证明ΖΛ、 ΖΜ、ΖΗ中的每一个也分别等于ΖΘ、ΖΚ中的每一个；所以，ΖΗ、ΖΘ、ΖΚ、ΖΛ、ΖΜ这五条直线互相相等。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Η, Θ, Κ, Λ, Μ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Η, Θ, Κ, Λ, Μ σημείοις γωνίας.
所以，以Ζ为圆心、以到Η、Θ、Κ、Λ、Μ中任一点的距离画的圆，也将经过其余的点，且将与直线AB、BΓ、ΓΔ、ΔE、EA相切，因为在点Η、Θ、Κ、Λ、Μ处的角是直角。
εἰ γὰρ οὐκ ἐφάψεται αὐτῶν, ἀλλὰ τεμεῖ αὐτάς, συμβήσεται τὴν τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένην ἐντὸς πίπτειν τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.
因为如果它不与它们相切，而是剖切它们，那么就会导致从圆直径的端点画出的垂线落到圆的内部；但这已被证明是不合理的。
οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν η, Θ, Κ, Λ, Μ σημείων γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθείας· ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν.
所以，以Ζ为圆心、以到 Η、Θ、Κ、Λ、Μ点中任一点的距离画的圆，不会剖切直线AB、BΓ、ΓΔ、ΔE、EA；所以，它将与它们相切。
γεγράφθω ὡς ὁ ΗΘΚΛΜ.
εἰς ἄρα τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλος ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
设它被画为ΗΘΚΛΜ。 所以，在给定的等边且等角的五边形内切了一个圆；这就是所要做的事。
§4.prop.14περὶ τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλον περιγράψαι.
在给定的等边且等角的五边形外接一个圆。
ἔστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, τὸ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον περιγράψαι.
设给定的等边且等角的五边形为ABΓΔE；那么，必须在五边形ABΓΔE 外接一个圆。
τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΖ, ΔΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου, καθʼ ὃ συμβάλλουσιν αἱ εὐθεῖαι, ἐπὶ τὰ Β, Α, Ε σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ. ὁμοίως δὴ τῷ πρὸ τούτου δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΒΑΕ, ΑΕΔ γωνιῶν δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκάστης τῶν ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ εὐθειῶν.
设角BΓΔ、ΓΔE的每一个分别被ΓΖ、ΔΖ这两条直线二等分，并从这些直线相交的点Ζ起，向点B、A、E连接直线ΖB、ΖΑ、ΖΕ。 与前一个类似，也将证明角ΓBA、BAE、AEΔ的每一个也分别被直线ΖB、ΖΑ、ΖΕ这两条直线二等分。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ, καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΓΔ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΖΓΔ, τῆς δὲ ὑπὸ ΓΔΕ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΓΔΖ, καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΖΓ πλευρᾷ τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση.
因为角BΓΔ等于角ΓΔE，且角BΓΔ的一半是角ΖΓΔ，角ΓΔE的一半是角ΓΔΖ；所以，角ΖΓΔ也等于角ΖΔΓ；使得边ΖΓ也等于边ΖΔ。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΓ, ΖΔ ἐστιν ἴση· αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
同样地，也将证明ΖB、ΖΑ、ΖΕ中的每一个也分别等于ΖΓ、ΖΔ中的每一个；所以，ΖΑ、ΖB、ΖΓ、ΖΔ、ΖΕ这五条直线互相相等。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται περιγεγραμμένος.
所以，以Ζ为圆心、以ΖΑ、ΖB、ΖΓ、ΖΔ、ΖΕ中任一条的距离画的圆，也将经过其余的点，且将是外接的。
περιγεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΑΒΓΔΕ.
περὶ ἄρα τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλος περιγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
设它被外接，且为ABΓΔE。 所以，在给定的等边且等角的五边形外接了一个圆；这就是所要做的事。