§11.prop.23#2ἀλλὰ καὶ ἴσαι· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.
然而，它们也相等；这是荒谬的。
οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΛΞ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴση· μείζων ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ. ἀνεστάτω δὴ ἀπὸ τοῦ Ξ σημείου τῷ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΡ, καὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΡΞ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς ἑκάστην ἄρα τῶν ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ ὀρθή ἐστιν ἡ ΡΞ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΞΜ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΡ, βάσις ἄρα ἡ ΡΛ βάσει τῇ ΡΜ ἐστιν ἴση.
因此 ΑΒ 不小于 ΛΞ。 而之前已证明它也不相等；所以 ΑΒ 大于 ΛΞ。 现在，从点 Ξ 垂直于圆 ΛΜΝ 的平面立起 ΞΡ，且设 ΞΡ 上的正方形等于 ΑΒ 上的正方形比 ΛΞ 上的正方形大的差；并连接 ΡΛ、ΡΜ、ΡΝ。 因为 ΡΞ 垂直于圆 ΛΜΝ 的平面，所以 ΡΞ 也垂直于 ΛΞ、ΜΞ、ΝΞ 中的每一条。 又因为 ΛΞ 等于 ΞΜ，且 ΞΡ 是公共的且垂直，所以底边 ΡΛ 等于底边 ΡΜ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΡΝ ἑκατέρᾳ τῶν ΡΛ, ΡΜ ἐστιν ἴση· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
由于同样的原因， ΡΝ 也等于 ΡΛ、ΡΜ 中的每一个；因此三条直线 ΡΛ、ΡΜ、ΡΝ 互间相等。
καὶ ἐπεὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον ὑπόκειται τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΞ, ΞΡ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΛΞ, ΞΡ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΡ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΛΞΡ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΡΛ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΡΛ. ἀλλὰ τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ, τῇ δὲ ΡΛ ἴση ἑκατέρα τῶν ΡΜ, ΡΝ· ἑκάστη ἄρα τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ ἑκάστῃ τῶν ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ ἴση ἐστίν.
又因为 ΞΡ 上的正方形被设为等于 ΑΒ 上的正方形比 ΛΞ 上的正方形大的差，所以 ΑΒ 上的正方形等于 ΛΞ、ΞΡ 上的正方形之和。 但是在 ΛΞ、ΞΡ 上的正方形之和等于 ΛΡ 上的正方形；因为角 ΛΞΡ 是直角；所以 ΑΒ 上的正方形等于 ΡΛ 上的正方形；因此 ΑΒ 等于 ΡΛ。 然而 ΒΓ、ΔΕ、ΕΖ、ΗΘ、ΘΚ 中的每一个都等于 ΑΒ，而 ΡΜ、ΡΝ 中的每一个都等于 ΡΛ；因此 ΑΒ、ΒΓ、ΔΕ、ΕΖ、ΗΘ、ΘΚ 中的每一个都分别等于 ΡΛ、 ΡΜ、ΡΝ 中的每一个。
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΛΡ, ΡΜ δυσὶ ταῖς ΑΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΛΜ βάσει τῇ ΑΓ ὑπόκειται ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΡΜ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ ἐστιν ἴση.
因为两直线 ΛΡ、ΡΜ 等于两直线 ΑΒ、ΒΓ，且底边 ΛΜ 被设为等于底边 ΑΓ，所以角 ΛΡΜ 等于角 ΑΒΓ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΜΡΝ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΡΝ τῇ ὑπὸ ΗΘΚ.
ἐκ τριῶν ἄρα γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ, στερεὰ γωνία συνέσταται ἡ πρὸς τῷ Ρ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ γωνιῶν· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
由于同样的原因，角 ΜΡΝ 也等于角 ΔΕΖ，且角 ΛΡΝ 等于角 ΗΘΚ。 因此，由等于所给的三个角 ΑΒΓ、ΔΕΖ、ΗΘΚ 的三个平面角 ΛΡΜ、ΜΡΝ、ΛΡΝ，构造出了在点 Ρ 处由角 ΛΡΜ、ΜΡΝ、ΛΡΝ 所包围的立体角；这就是所要求作的。
λῆμμα
ὃν δὲ τρόπον, ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον λαβεῖν ἔστι τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, δείξομεν οὕτως.
引理至于如何取 ΞΡ 上的正方形，使其等于 ΑΒ 上的正方形比 ΛΞ 上的正方形大的差，我们将证明如下。
ἐκκείσθωσαν αἱ ΑΒ, ΛΞ εὐθεῖαι, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ γεγράφθω ἐπʼ αὐτῆς ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ εἰς τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον ἐνηρμόσθω τῇ ΛΞ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς ΑΒ διαμέτρου ἴση ἡ ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ. ἐπεὶ οὖν ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΑΓΒ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΛΞ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἐὰν οὖν τῇ ΒΓ ἴσην τὴν ΞΡ ἀπολάβωμεν, ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς ΞΡ· ὅπερ προέκειτο ποιῆσαι.
设给出两直线 ΑΒ、ΛΞ，且设 ΑΒ 较大，并在其上作半圆 ΑΒΓ，又在半圆 ΑΒΓ 内嵌一条等于直线 ΛΞ 的 ΑΓ，它不大于直径 ΑΒ，并连接 ΓΒ。 因为在半圆 ΑΓΒ 内的角 ΑΓΒ 是角，所以角 ΑΓΒ 是直角。 因此 ΑΒ 上的正方形等于 ΑΓ、ΓΒ 上的正方形之和；从而 ΑΒ 上的正方形比 ΑΓ 上的正方形大一个 ΓΒ 上的正方形。 但是 ΑΓ 等于 ΛΞ；因此 ΑΒ 上的正方形比 ΛΞ 上的正方形大一个 ΓΒ 上的正方形。 所以，如果我们截取 ΞΡ 等于 ΒΓ，则 ΑΒ 上的正方形比 ΛΞ 上的正方形大一个 ΞΡ 上的正方形；这就是所提出要作的。