§11.prop.23#1ἐκ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι· δεῖ δὴ τὰς τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονας εἶναι.
由三个平面角构造一个立体角，其中任意两个角以任何方式组合都大于其余的一个；但此三个角必须小于四个直角。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονες ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, ἔτι δὲ αἱ τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες· δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι.
设所给的三个平面角为 ΑΒΓ、ΔΕΖ、ΗΘΚ，其中任意两个角以任何方式组合都大于其余的一个，且三个角之和小于四个直角；要求用等于 ΑΒΓ、ΔΕΖ、ΗΘΚ 的角构造一个立体角。
Ἀπειλήφθωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ· δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι.
截取相等的直线 ΑΒ、ΒΓ、ΔΕ、ΕΖ、ΗΘ、ΘΚ，并连接 ΑΓ、ΔΖ、ΗΚ；因此可以用等于 ΑΓ、ΔΖ、ΗΚ 的直线构造一个三角形。
συνεστάτω τὸ ΛΜΝ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΓ τῇ ΛΜ, τὴν δὲ ΔΖ τῇ ΜΝ, καὶ ἔτι τὴν ΗΚ τῇ ΝΛ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον κύκλος ὁ ΛΜΝ καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον καὶ ἔστω τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ μείζων ἐστὶ τῆς ΛΞ. εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ ἢ ἐλάττων.
设构造三角形 ΛΜΝ，使得 ΑΓ 等于 ΛΜ，ΔΖ 等于 ΜΝ，且 ΗΚ 等于 ΝΛ，且在三角形 ΛΜΝ 外作外接圆 ΛΜΝ，取其圆心为 Ξ，并连接 ΛΞ、ΜΞ、ΝΞ；我说， ΑΒ 大于 ΛΞ。 因为如果不是这样， ΑΒ 要么等于 ΛΞ，要么小于。
ἔστω πρότερον ἴση.
首先设它相等。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ, ἀλλὰ ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΞΛ τῇ ΞΜ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΛΞ, ΞΜ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΛΜ ὑπόκειται ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΞΜ ἐστιν ἴση.
由于 ΑΒ 等于 ΛΞ，而 ΑΒ 等于 ΒΓ，ΞΛ 等于 ΞΜ，因此两直线 ΑΒ、ΒΓ 分别等于两直线 ΛΞ、ΞΜ；且底边 ΑΓ 被设为等于底边 ΛΜ；所以角 ΑΒΓ 等于角 ΛΞΜ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ τῇ ὑπὸ ΜΞΝ ἐστιν ἴση, καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΗΘΚ τῇ ὑπὸ ΝΞΛ· αἱ ἄρα τρεῖς αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ γωνίαι τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ εἰσιν ἴσαι.
由于同样的原因，角 ΔΕΖ 也等于角 ΜΞΝ，并且角 ΗΘΚ 也等于角 ΝΞΛ；所以三个角 ΑΒΓ、ΔΕΖ、ΗΘΚ 等于三个角 ΛΞΜ、ΜΞΝ、 ΝΞΛ。
ἀλλὰ αἱ τρεῖς αἱ ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ τέτταρσιν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι· καὶ αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τέτταρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
然而，三个角 ΛΞΜ、ΜΞΝ、ΝΞΛ 等于四个直角；因此三个角 ΑΒΓ、ΔΕΖ、ΗΘΚ 也等于四个直角。
ὑπόκεινται δὲ καὶ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες· ὅπερ ἄτοπον.
但它们也被设为小于四个直角；这是荒谬的。
οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ ἴση ἐστίν.
因此 ΑΒ 不等于 ΛΞ。
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ ΞΟ, τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ ΞΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΞΟ τῇ ΞΠ· ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΛΟ τῇ ΠΜ ἐστιν ἴση.
现在我说， ΑΒ 也不小于 ΛΞ。 如果可能的话，设它是这样；且设 ΞΟ 等于 ΑΒ，ΞΠ 等于 ΒΓ，并连接 ΟΠ。 因为 ΑΒ 等于 ΒΓ，所以 ΞΟ 也等于 ΞΠ；从而余下的 ΛΟ 也等于 ΠΜ。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΟΠ, καὶ ἰσογώνιον τὸ ΛΜΞ τῷ ΟΠΞ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΞΛ πρὸς ΛΜ, οὕτως ἡ ΞΟ πρὸς ΟΠ·
因此 ΛΜ 平行于 ΟΠ，且三角形 ΛΜΞ 与三角形 ΟΠΞ 等角；所以， ΞΛ 比 ΛΜ 犹如 ΞΟ 比 ΟΠ；更替比例， ΛΞ 比 ΞΟ 犹如 ΛΜ 比 ΟΠ。
ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΛΞ πρὸς ΞΟ, οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΟΠ. μείζων δὲ ἡ ΛΞ τῆς ΞΟ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τῆς ΟΠ. ἀλλὰ ἡ ΛΜ κεῖται τῇ ΑΓ ἴση· καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΟΠ μείζων ἐστίν.
然而 ΛΞ 大于 ΞΟ；所以 ΛΜ 也大于 ΟΠ。 但是 ΛΜ 被设为等于 ΑΓ；所以 ΑΓ 也大于 ΟΠ。
ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΟΞ, ΞΠ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσεως τῆς ΟΠ μείζων ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΟΞΠ μείζων ἐστίν.
因为两直线 ΑΒ、ΒΓ 等于两直线 ΟΞ、ΞΠ，且底边 ΑΓ 大于底边 ΟΠ，所以角 ΑΒΓ 大于角 ΟΞΠ。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ τῆς ὑπὸ ΜΞΝ μείζων ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΝΞΛ. αἱ ἄρα τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τριῶν τῶν ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ μείζονές εἰσιν.
同样地，我们将证明角 ΔΕΖ 也大于角 ΜΞΝ，且角 ΗΘΚ 大于角 ΝΞΛ。 因此，三个角 ΑΒΓ、ΔΕΖ、ΗΘΚ 大于三个角 ΛΞΜ、ΜΞΝ、ΝΞΛ。
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες ὑπόκεινται· πολλῷ ἄρα αἱ ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
但是 ΑΒΓ、ΔΕΖ、ΗΘΚ 被设为小于四个直角；因此，角 ΛΞΜ、ΜΞΝ、ΝΞΛ 更小于四个直角。