§11.prop.24ἐὰν στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχηται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν.
如果立体被平行平面所包围，则其相对的平面既相等又是平行四边形。
στερεὸν γὰρ τὸ ΓΔΘΗ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιεχέσθω τῶν ΑΓ, ΗΖ, ΑΘ, ΔΖ, ΒΖ, ΑΕ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν.
因为立体 ΓΔΘΗ 被平行平面 ΑΓ, ΗΖ, ΑΘ, ΔΖ, ΒΖ, ΑΕ 所包围；我说，其相对的平面既相等又是平行四边形。
ἐπεὶ γὰρ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΗ, ΓΕ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν.
因为两个平行平面 ΒΗ, ΓΕ 被平面 ΑΓ 所截，所以它们共同的交线是平行的。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ. πάλιν, ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖ, ΑΕ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν.
因此 ΑΒ 平行于 ΔΓ。 同样地，因为两个平行平面 ΒΖ, ΑΕ 被平面 ΑΓ 所截，所以它们共同的交线是平行的。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΑΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ παράλληλος· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν ΔΖ, ΖΗ, ΗΒ, ΒΖ, ΑΕ παραλληλόγραμμόν ἐστιν.
因此 ΒΓ 平行于 ΑΔ。 然而 ΑΒ 也已被证明平行于 ΔΓ；因此 ΑΓ 是平行四边形。 同样地，我们将证明 ΔΖ, ΖΗ, ΗΒ, ΒΖ, ΑΕ 中的每一个也是平行四边形。
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ, ΔΖ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΘ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας τὰς ΔΓ, ΓΖ ἁπτομένας ἀλλήλων εἰσὶν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ· ἴσας ἄρα γωνίας περιέξουσιν·
连接 ΑΘ, ΔΖ。 因为 ΑΒ 平行于 ΔΓ，且 ΒΘ 平行于 ΓΖ，所以两个相交的直线 ΑΒ, ΒΘ 与不共面的两个相交的直线 ΔΓ, ΓΖ 互相平行；因此它们包围相等的角；因此角 ΑΒΘ 等于角 ΔΓΖ。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΖ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΘ δυσὶ ταῖς ΔΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
又因为两直线 ΑΒ, ΒΘ 等于两直线 ΔΓ, ΓΖ，且角 ΑΒΘ 等于角 ΔΓΖ，所以底边 ΑΘ 等于底边 ΔΖ，且三角形 ΑΒΘ 等于三角形 ΔΓΖ。
καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΒΘ διπλάσιον τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ ΔΓΖ διπλάσιον τὸ ΓΕ παραλληλόγραμμον· ἴσον ἄρα τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΓΕ παραλληλογράμμῳ.
而平行四边形 ΒΗ 是三角形 ΑΒΘ 的两倍，平行四边形 ΓΕ 是三角形 ΔΓΖ 的两倍；因此平行四边形 ΒΗ 等于平行四边形 ΓΕ。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ μὲν ΑΓ τῷ ΗΖ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΑΕ τῷ ΒΖ.
ἐὰν ἄρα στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχηται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
同样地，我们将证明 ΑΓ 等于 ΗΖ，且 ΑΕ 等于 ΒΖ。 因此，如果立体被平行平面所包围，则其相对的平面既相等又是平行四边形；这就是所要证明的。
§11.prop.25ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν, οὕτως τὸ στερεὸν πρὸς τὸ στερεόν.
如果平行六面体被一个平行于其相对面的平面所截，则底边比底边等于立体比立体。
στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ ΑΒΓΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΖΗ τετμήσθω παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς ΡΑ, ΔΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕΖΦ βάσις πρὸς τὴν ΕΘΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒΖΥ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΗΓΔ στερεόν.
设平行六面体 ΑΒΓΔ 被平行于相对平面 ΡΑ, ΔΘ 的平面 ΖΗ 所截；我说，底边 ΑΕΖΦ 比底边 ΕΘΓΖ 等于立体 ΑΒΖΥ 比立体 ΕΗΓΔ。
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΘ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη, καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΑΕ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΑΚ, ΚΛ, τῇ δὲ ΕΘ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΘΜ, ΜΝ, καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΛΟ, ΚΦ, ΘΧ, ΜΣ παραλληλόγραμμα καὶ τὰ ΛΠ, ΚΡ, ΔΜ, ΜΤ στερεά.
设 ΑΘ 向两端延长，且设与 ΑΕ 相等的任意数量的线段 ΑΚ, ΚΛ 被放置，与 ΕΘ 相等的任意数量的线段 ΘΜ, ΜΝ 被放置，并补全平行四边形 ΛΟ, ΚΦ, ΘΧ, ΜΣ 和立体 ΛΠ, ΚΡ, ΔΜ, ΜΤ。
καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΛΚ, ΚΑ, ΑΕ εὐθεῖαι ἀλλήλαις, ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ μὲν ΛΟ, ΚΦ, ΑΖ παραλληλόγραμμα ἀλλήλοις, τὰ δὲ ΚΞ, ΚΒ, ΑΗ ἀλλήλοις καὶ ἔτι τὰ ΛΨ, ΚΠ, ΑΡ ἀλλήλοις· ἀπεναντίον γάρ.
因为直线 ΛΚ, ΚΑ, ΑΕ 互等，所以平行四边形 ΛΟ, ΚΦ, ΑΖ 也互等，ΚΞ, ΚΒ, ΑΗ 互等，且 ΛΨ, ΚΠ, ΑΡ 也互等；因为它们相对。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ μὲν ΕΓ, ΘΧ, ΜΣ παραλληλόγραμμα ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις, τὰ δὲ ΘΗ, ΘΙ, ΙΝ ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις, καὶ ἔτι τὰ ΔΘ, ΜΩ, ΝΤ· τρία ἄρα ἐπίπεδα τῶν ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ στερεῶν τρισὶν ἐπιπέδοις ἐστὶν ἴσα.
由于同样的原因，平行四边形 ΕΓ, ΘΧ, ΜΣ 也互等，ΘΗ, ΘΙ, ΙΝ 互等，且 ΔΘ, ΜΩ, ΝΤ 也互等；因此，立体 ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ 的三个平面等于三个平面。
ἀλλὰ τὰ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἐστὶν ἴσα· τὰ ἄρα τρία στερεὰ τὰ ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
但是这三个平面等于三个相对的平面；因此，三个立体 ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ 互等。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ τρία στερεὰ τὰ ΕΔ, ΔΜ, ΜΤ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΑΖ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΑΥ στερεοῦ.
由于同样的原因，三个立体 ΕΔ, ΔΜ, ΜΤ 也互等；所以，底边 ΛΖ 是底边 ΑΖ 的多少倍，立体 ΛΥ 也是立体 ΑΥ 的相同倍数。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΖ βάσις τῆς ΖΘ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΝΥ στερεὸν τοῦ ΘΥ στερεοῦ.
由于同样的原因，底边 ΝΖ 是底边 ΖΘ 的多少倍，立体 ΝΥ 也是立体 ΘΥ 的相同倍数。
καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΖ βάσις τῇ ΝΖ βάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τῷ ΝΥ στερεῷ, καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΝΖ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΝΥ στερεοῦ, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει.
如果底边 ΛΖ 等于底边 ΝΖ，则立体 ΛΥ 等于立体 ΝΥ；如果底边 ΛΖ 大于底边 ΝΖ，则立体 ΛΥ 大于立体 ΝΥ；如果小于，则小于。
τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν βάσεων τῶν ΑΖ, ΖΘ, δύο δὲ στερεῶν τῶν ΑΥ, ΥΘ, εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν ΑΖ βάσεως καὶ τοῦ ΑΥ στερεοῦ ἥ τε ΛΖ βάσις καὶ τὸ ΛΥ στερεόν, τῆς δὲ ΘΖ βάσεως καὶ τοῦ ΘΥ στερεοῦ ἥ τε ΝΖ βάσις καὶ τὸ ΝΥ στερεόν, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΖΝ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΝΥ, καὶ εἰ ἴση, ἴσον, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει.
在这四个量中，两个是底边 ΑΖ, ΖΘ，两个是立体 ΑΥ, ΥΘ，已取了底边 ΑΖ 和立体 ΑΥ 的等倍量，即底边 ΛΖ 和立体 ΛΥ，以及底边 ΘΖ 和立体 ΘΥ 的等倍量，即底边 ΝΖ 和立体 ΝΥ。 并且已证明，如果底边 ΛΖ 大于底边 ΖΝ，则立体 ΛΥ 大于立体 ΝΥ；如果相等，则相等；如果小于，则小于。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ βάσις πρὸς τὴν ΖΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΥ στερεὸν πρὸς τὸ ΥΘ στερεόν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，底边 ΑΖ 比底边 ΖΘ 等于立体 ΑΥ 比立体 ΥΘ；这就是所要证明的。