§11.prop.23#2ἀλλὰ καὶ ἴσαι·
그런데 또한 같기도 하다.
ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.
이는 모순이다.
οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΛΞ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴση·
그러므로 ΑΒ는 ΛΞ보다 작지 않다. 또한 같지도 않다는 것이 증명되었다.
μείζων ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ. ἀνεστάτω δὴ ἀπὸ τοῦ Ξ σημείου τῷ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΡ, καὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΡΞ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς ἑκάστην ἄρα τῶν ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ ὀρθή ἐστιν ἡ ΡΞ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΞΜ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΡ, βάσις ἄρα ἡ ΡΛ βάσει τῇ ΡΜ ἐστιν ἴση.
그러므로 ΑΒ는 ΛΞ보다 크다. 이제 점 Ξ로부터 원 ΛΜΝ의 평면에 대하여 수직으로 ΞΡ를 세우고, ΑΒ 위의 정사각형이 ΛΞ 위의 정사각형보다 큰 그 차이에 ΞΡ 위의 정사각형이 같도록 하고, ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ을 잇자. 그리고 ΡΞ는 원 ΛΜΝ의 평면에 대하여 수직이므로, 그러므로 ΡΞ는 ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ 각각에 대해서도 수직이다. 그리고 ΛΞ는 ΞΜ과 같고, ΞΡ는 공통이면서 수직이므로, 그러므로 밑변 ΡΛ은 밑변 ΡΜ과 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΡΝ ἑκατέρᾳ τῶν ΡΛ, ΡΜ ἐστιν ἴση·
똑같은 이유로 ΡΝ도 ΡΛ, ΡΜ 각각과 같다.
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
그러므로 세 직선 ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ은 서로 같다.
καὶ ἐπεὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον ὑπόκειται τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΞ, ΞΡ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΛΞ, ΞΡ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΡ·
그리고 ΑΒ 위의 정사각형이 ΛΞ 위의 정사각형보다 큰 그 차이에 ΞΡ 위의 정사각형이 같다고 가정되었으므로, 그러므로 ΑΒ 위의 정사각형은 ΛΞ, ΞΡ 위의 정사각형들의 합과 같다. 그런데 ΛΞ, ΞΡ 위의 정사각형들의 합은 ΛΡ 위의 정사각형과 같다.
ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΛΞΡ·
왜냐하면 각 ΛΞΡ는 직각이기 때문이다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΡΛ·
그러므로 ΑΒ 위의 정사각형은 ΡΛ 위의 정사각형과 같다.
ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΡΛ. ἀλλὰ τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ, τῇ δὲ ΡΛ ἴση ἑκατέρα τῶν ΡΜ, ΡΝ·
그러므로 ΑΒ는 ΡΛ과 같다. 그런데 ΑΒ와 ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ 각각이 같고, ΡΛ과 ΡΜ, ΡΝ 각각이 같다.
ἑκάστη ἄρα τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ ἑκάστῃ τῶν ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ ἴση ἐστίν.
그러므로 ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ 각각은 ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ 각각과 같다.
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΛΡ, ΡΜ δυσὶ ταῖς ΑΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΛΜ βάσει τῇ ΑΓ ὑπόκειται ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΡΜ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ ἐστιν ἴση.
그리고 두 직선 ΛΡ, ΡΜ은 두 직선 ΑΒ, ΒΓ와 같고 밑변 ΛΜ은 밑변 ΑΓ와 같다고 가정되었으므로, 그러므로 각 ΛΡΜ은 각 ΑΒΓ와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΜΡΝ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΡΝ τῇ ὑπὸ ΗΘΚ.
ἐκ τριῶν ἄρα γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ, στερεὰ γωνία συνέσταται ἡ πρὸς τῷ Ρ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ γωνιῶν·
똑같은 이유로 각 ΜΡΝ은 각 ΔΕΖ와 같고, 각 ΛΡΝ은 각 ΗΘΚ와 같다. 그러므로 주어진 세 각 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ와 같은 세 평면각 ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ으로부터, 점 Ρ에서 각 ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ에 의해 둘러싸인 입체각이 구성되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이었다.
λῆμμα
ὃν δὲ τρόπον, ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον λαβεῖν ἔστι τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, δείξομεν οὕτως.
보제 그런데 ΑΒ 위의 정사각형이 ΛΞ 위의 정사각형보다 큰 그 차이에 ΞΡ 위의 정사각형이 같도록 취하는 방법은 다음과 같이 보일 것이다.
ἐκκείσθωσαν αἱ ΑΒ, ΛΞ εὐθεῖαι, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ γεγράφθω ἐπʼ αὐτῆς ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ εἰς τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον ἐνηρμόσθω τῇ ΛΞ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς ΑΒ διαμέτρου ἴση ἡ ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ. ἐπεὶ οὖν ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΑΓΒ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΛΞ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἐὰν οὖν τῇ ΒΓ ἴσην τὴν ΞΡ ἀπολάβωμεν, ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς ΞΡ·
두 직선 ΑΒ, ΛΞ를 놓고 ΑΒ가 더 크다고 하자. 그리고 그것 위에 반원 ΑΒΓ를 그리고, 반원 ΑΒΓ 안에 지름 ΑΒ보다 크지 않은 직선 ΛΞ와 같은 ΑΓ를 끼워 넣고, ΓΒ를 잇자. 그러므로 반원 ΑΓΒ 안의 각 ΑΓΒ는 각이므로, 그러므로 각 ΑΓΒ는 직각이다. 그러므로 ΑΒ 위의 정사각형은 ΑΓ, ΓΒ 위의 정사각형들의 합과 같다. 따라서 ΑΒ 위의 정사각형은 ΑΓ 위의 정사각형보다 ΓΒ 위의 정사각형만큼 더 크다. 그런데 ΑΓ는 ΛΞ와 같다. 그러므로 ΑΒ 위의 정사각형은 ΛΞ 위의 정사각형보다 ΓΒ 위의 정사각형만큼 더 크다. 그러므로 만약 우리가 ΒΓ와 같도록 ΞΡ를 잘라낸다면, ΑΒ 위의 정사각형은 ΛΞ 위의 정사각형보다 ΞΡ 위의 정사각형만큼 더 클 것이다.
ὅπερ προέκειτο ποιῆσαι.
이것이 처음에 하고자 제안했던 일이었다.