§11.prop.23#2ἀλλὰ καὶ ἴσαι·
しかし、それらは等しくもある。
ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.
これは不合理である。
οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΛΞ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴση·
したがって ΑΒ は ΛΞ より小さくない。 また、等しくもないことが示された。
μείζων ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ. ἀνεστάτω δὴ ἀπὸ τοῦ Ξ σημείου τῷ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΡ, καὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΡΞ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς ἑκάστην ἄρα τῶν ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ ὀρθή ἐστιν ἡ ΡΞ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΞΜ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΡ, βάσις ἄρα ἡ ΡΛ βάσει τῇ ΡΜ ἐστιν ἴση.
したがって ΑΒ は ΛΞ より大きい。 そこで、点 Ξ から円 ΛΜΝ の平面に対して垂直に ΞΡ が立てられたとせよ。 そして、 ΑΒ の上の正方形が ΛΞ の上の正方形より大きいその差に、 ΞΡ の上の正方形が等しくあるとせよ。 そして ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ が結ばれたとせよ。 そして ΡΞ は円 ΛΜΝ の平面に対して垂直であるから、したがって ΡΞ は ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ のそれぞれに対しても垂直である。 そして ΛΞ は ΞΜ に等しく、 ΞΡ は共通でかつ垂直であるから、したがって底辺 ΡΛ は底辺 ΡΜ に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΡΝ ἑκατέρᾳ τῶν ΡΛ, ΡΜ ἐστιν ἴση·
まさに同じ理由によって、 ΡΝ も ΡΛ, ΡΜ のそれぞれに等しい。
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
したがって、3つの直線 ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ は互いに等しい。
καὶ ἐπεὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον ὑπόκειται τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΞ, ΞΡ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΛΞ, ΞΡ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΡ·
そして、 ΑΒ の上の正方形が ΛΞ の上の正方形より大きいその差に、 ΞΡ の上の正方形が等しいと仮定されているから、したがって ΑΒ の上の正方形は ΛΞ, ΞΡ の上の正方形の和に等しい。 ところが、 ΛΞ, ΞΡ の上の正方形の和に ΛΡ の上の正方形が等しい。
ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΛΞΡ·
なぜなら、角 ΛΞΡ は直角であるから。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΡΛ·
したがって ΑΒ の上の正方形は ΡΛ の上の正方形に等しい。
ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΡΛ. ἀλλὰ τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ, τῇ δὲ ΡΛ ἴση ἑκατέρα τῶν ΡΜ, ΡΝ·
したがって ΑΒ は ΡΛ に等しい。 ところが、 ΑΒ に ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ のそれぞれが等しく、 ΡΛ に ΡΜ, ΡΝ のそれぞれが等しい。
ἑκάστη ἄρα τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ ἑκάστῃ τῶν ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ ἴση ἐστίν.
したがって、 ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ のそれぞれは、 ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ のそれぞれに等しい。
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΛΡ, ΡΜ δυσὶ ταῖς ΑΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΛΜ βάσει τῇ ΑΓ ὑπόκειται ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΡΜ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ ἐστιν ἴση.
そして、2つの直線 ΛΡ, ΡΜ は2つの直線 ΑΒ, ΒΓ に等しく、底辺 ΛΜ は底辺 ΑΓ に等しいと仮定されているから、したがって角 ΛΡΜ は角 ΑΒΓ に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΜΡΝ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΡΝ τῇ ὑπὸ ΗΘΚ.
ἐκ τριῶν ἄρα γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ, στερεὰ γωνία συνέσταται ἡ πρὸς τῷ Ρ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ γωνιῶν·
まさに同じ理由によって、角 ΜΡΝ は角 ΔΕΖ に等しく、角 ΛΡΝ は角 ΗΘΚ に等しい。 したがって、与えられた3つの角 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ に等しい3つの平面角 ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ から、点 Ρ において角 ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ によって囲まれた立体角が構成された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これが作ろうと試みていたことであった。
λῆμμα
ὃν δὲ τρόπον, ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον λαβεῖν ἔστι τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, δείξομεν οὕτως.
引理さて、 ΑΒ の上の正方形が ΛΞ の上の正方形より大きいその差に、 ΞΡ の上の正方形が等しくなるように取る方法は、次のように示されるであろう。
ἐκκείσθωσαν αἱ ΑΒ, ΛΞ εὐθεῖαι, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ γεγράφθω ἐπʼ αὐτῆς ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ εἰς τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον ἐνηρμόσθω τῇ ΛΞ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς ΑΒ διαμέτρου ἴση ἡ ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ. ἐπεὶ οὖν ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΑΓΒ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΛΞ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἐὰν οὖν τῇ ΒΓ ἴσην τὴν ΞΡ ἀπολάβωμεν, ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς ΞΡ·
2つの直線 ΑΒ, ΛΞ が置かれたとし、 ΑΒ が大きい方とせよ。 そして、それの上に半円 ΑΒΓ が描かれたとせよ。 そして半円 ΑΒΓ の中に、直径 ΑΒ より大きくない直線 ΛΞ に等しい ΑΓ があてはめられたとし、 ΓΒ が結ばれたとせよ。 それゆえ、半円 ΑΓΒ の中にある角 ΑΓΒ は、したがって、角 ΑΓΒ は直角である。 したがって ΑΒ の上の正方形は ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和に等しい。 したがって、 ΑΒ の上の正方形は ΑΓ の上の正方形より ΓΒ の上の正方形の分だけ大きい。 ところが ΑΓ は ΛΞ に等しい。 したがって、 ΑΒ の上の正方形は ΛΞ の上の正方形より ΓΒ の上の正方形の分だけ大きい。 それゆえ、もしわれわれが ΒΓ に等しい ΞΡ を切り取るならば、 ΑΒ の上の正方形は ΛΞ の上の正方形より ΞΡ の上の正方形の分だけ大きいことになる。
ὅπερ προέκειτο ποιῆσαι.
これがまさに作ろうと試みていたことであった。