§11.prop.14πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλα ἔσται τὰ ἐπίπεδα.
同一条直线垂直的平面是平行的。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΔ, ΕΖ ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἔστω· λέγω, ὅτι παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα.
因为，设有一条直线 ΑΒ 垂直于平面 ΓΔ、ΕΖ 中的每一个；我 claim，这些平面是平行的。
εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται.
因为如果不是这样，它们在延长时就会相交。
συμπιπτέτωσαν· ποιήσουσι δὴ κοινὴν τομὴν εὐθεῖαν.
设它们相交；它们必将产生一条直线作为公共交线。
ποιείτωσαν τὴν ΗΘ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΗΘ τυχὸν σημεῖον τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΒΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ πρὸς τὴν ΒΚ ἄρα εὐθεῖαν οὖσαν ἐν τῷ ΕΖ ἐκβληθέντι ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΚ γωνία ὀρθή ἐστιν.
设此交线为 ΗΘ，并在 ΗΘ 上任取一点 Κ，连接 ΑΚ、ΒΚ。 又因为 ΑΒ 垂直于平面 ΕΖ，所以 ΑΒ 也垂直于在延长后的平面 ΕΖ 内的直线 ΒΚ；所以角 ΑΒΚ 是直角。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΚ ὀρθή ἐστιν.
由于同样的原因，角 ΒΑΚ 也是直角。
τριγώνου δὴ τοῦ ΑΒΚ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΚ, ΒΑΚ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
因此，在三角形 ΑΒΚ 中，两个角 ΑΒΚ、ΒΑΚ 的和等于两个直角；这是不可能的。
οὐκ ἄρα τὰ ΓΔ, ΕΖ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται· παράλληλα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΔ, ΕΖ ἐπίπεδα.
因此平面 ΓΔ、ΕΖ 在延长时不会相交；所以平面 ΓΔ、ΕΖ 是平行的。
πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἄρα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，同一条直线垂直的平面是平行的；这就是所要证明的。
§11.prop.15ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, παράλληλά ἐστι τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα.
如果两条相交直线分别平行于另两条相交直线，且它们不在同一个平面内，那么通过它们的平面是平行的。
δύο γὰρ εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΑΒ, ΒΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΔΕ, ΕΖ ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι· λέγω, ὅτι ἐκβαλλόμενα τὰ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδα οὐ συμπεσεῖται ἀλλήλοις.
因为，设两条相交直线 ΑΒ、ΒΓ 分别平行于另两条相交直线 ΔΕ、ΕΖ，且它们不在同一个平面内；我说，通过 ΑΒ、ΒΓ 和通过 ΔΕ、ΕΖ 的平面在延长时不会相交。
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΒΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ μὲν ΕΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ, τῇ δὲ ΕΖ ἡ ΗΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΗ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.
因为，从点 Β 向通过 ΔΕ、ΕΖ 的平面引垂线 ΒΗ，并与该平面交于点 Η；通过 Η 引平行于 ΕΔ 的 ΗΘ，以及平行于 ΕΖ 的 ΗΚ。 又因为 ΒΗ 垂直于通过 ΔΕ、ΕΖ 的平面，所以它将与所有与它相交且在通过 ΔΕ、ΕΖ 的平面内的直线成直角。
ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα τῶν ΗΘ, ΗΚ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπιπέδῳ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΒΗΚ γωνιῶν.
而在通过 ΔΕ、ΕΖ 的平面内的 ΗΘ、ΗΚ 中的每一条都与它相交；所以角 ΒΗΘ、ΒΗΚ 中的每一个都是直角。
καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΑ τῇ ΗΘ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΗΒΑ, ΒΗΘ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
又因为 ΒΑ 平行于 ΗΘ，所以角 ΗΒΑ、ΒΗΘ 的和等于两个直角。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΘ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒΑ· ἡ ΗΒ ἄρα τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
而角 ΒΗΘ 是直角；所以角 ΗΒΑ 也是直角；所以 ΗΒ 垂直于 ΒΑ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΗΒ καὶ τῇ ΒΓ ἐστι πρὸς ὀρθάς.
由于同样的原因，ΗΒ 也垂直于 ΒΓ。
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΗΒ δυσὶν εὐθείαις ταῖς ΒΑ, ΒΓ τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν, ἡ ΗΒ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΑ, ΒΓ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. .
因为直线 ΗΒ 垂直于两条相交直线 ΒΑ、ΒΓ 竖立，所以 ΗΒ 也垂直于通过 ΒΑ、ΒΓ 的平面。
πρὸς ἃ δὲ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα· παράλληλον ἄρα ἐστὶ τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπίπεδον τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ.
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, παράλληλά ἐστι τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而同一条直线垂直的平面是平行的；所以通过 ΑΒ、ΒΓ 的平面平行于通过 ΔΕ、ΕΖ 的平面。 因此，如果两条相交直线分别平行于另两条相交直线，且不在同一个平面内，那么通过它们的平面是平行的；这就是所要证明的。