§11.prop.14πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλα ἔσται τὰ ἐπίπεδα.
同一の直線が垂直であるような平面同士は、平行である。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΔ, ΕΖ ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἔστω·
なぜなら、ある直線 ΑΒ が平面 ΓΔ, ΕΖ のそれぞれに対して垂直であるとせよ。
λέγω, ὅτι παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα.
私は、それらの平面が平行であると主張する。
εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται.
もしそうでなければ、それらは延長されると交わるだろう。
συμπιπτέτωσαν·
交わるとせよ。
ποιήσουσι δὴ κοινὴν τομὴν εὐθεῖαν.
それらは共通の交線として直線をつくる。
ποιείτωσαν τὴν ΗΘ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΗΘ τυχὸν σημεῖον τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΒΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ πρὸς τὴν ΒΚ ἄρα εὐθεῖαν οὖσαν ἐν τῷ ΕΖ ἐκβληθέντι ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ·
それを ΗΘ とし、ΗΘ 上に任意の点 Κ が取られ、ΑΚ, ΒΚ が結ばれたとせよ。 そして、ΑΒ は平面 ΕΖ に対して垂直であるから、それゆえ ΑΒ は、延長された平面 ΕΖ 上にある直線 ΒΚ に対しても垂直である。
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΚ γωνία ὀρθή ἐστιν.
したがって、角 ΑΒΚ は直角である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΚ ὀρθή ἐστιν.
同じ理由により、角 ΒΑΚ もまた直角である。
τριγώνου δὴ τοῦ ΑΒΚ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΚ, ΒΑΚ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι·
したがって、三角形 ΑΒΚ の2つの角 ΑΒΚ, ΒΑΚ は2直角に等しい。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τὰ ΓΔ, ΕΖ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται·
したがって、平面 ΓΔ, ΕΖ は延長されても交わらない。
παράλληλα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΔ, ΕΖ ἐπίπεδα.
ゆえに、平面 ΓΔ, ΕΖ は平行である。
πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἄρα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα·
したがって、同一の直線が垂直であるような平面同士は、平行である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§11.prop.15ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, παράλληλά ἐστι τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα.
もし互いに交わる2本の直線が、同じ平面上にない別の互いに交わる2本の直線にそれぞれ平行であるならば、それらを通る平面同士は平行である。
δύο γὰρ εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΑΒ, ΒΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΔΕ, ΕΖ ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι·
なぜなら、互いに交わる2本の直線 ΑΒ, ΒΓ が、同じ平面上にない、別の互いに交わる2本の直線 ΔΕ, ΕΖ に平行であるとせよ。
λέγω, ὅτι ἐκβαλλόμενα τὰ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδα οὐ συμπεσεῖται ἀλλήλοις.
私は、ΑΒ, ΒΓ を通る平面と ΔΕ, ΕΖ を通る平面とは、延長されても互いに交わらないと主張する。
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΒΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ μὲν ΕΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ, τῇ δὲ ΕΖ ἡ ΗΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΗ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.
なぜなら、点 Β から ΔΕ, ΕΖ を通る平面に対して垂線 ΒΗ が引かれ、その平面と点 Η において交わるとせよ。 そして Η を通って、ΕΔ に平行な ΗΘ が、ΕΖ に平行な ΗΚ が引かれたとせよ。 そして、ΒΗ は ΔΕ, ΕΖ を通る平面に対して垂直であるから、それゆえこれに交わり、かつ ΔΕ, ΕΖ を通る平面上にあるすべての直線に対して直角をつくる。
ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα τῶν ΗΘ, ΗΚ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπιπέδῳ·
ところで、 ΔΕ, ΕΖ を通る平面上にある ΗΘ, ΗΚ のそれぞれはこれに交わっている。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΒΗΚ γωνιῶν.
したがって、角 ΒΗΘ, ΒΗΚ のそれぞれは直角である。
καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΑ τῇ ΗΘ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΗΒΑ, ΒΗΘ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
そして、ΒΑ は ΗΘ に平行であるから、それゆえ角 ΗΒΑ, ΒΗΘ は合わせて2直角に等しい。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΘ·
ところで角 ΒΗΘ は直角である。
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒΑ·
したがって、角 ΗΒΑ もまた直角である。
ἡ ΗΒ ἄρα τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
ゆえに、ΗΒ は ΒΑ に対して垂直である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΗΒ καὶ τῇ ΒΓ ἐστι πρὸς ὀρθάς.
同じ理由により、ΗΒ は ΒΓ に対しても垂直である。
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΗΒ δυσὶν εὐθείαις ταῖς ΒΑ, ΒΓ τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν, ἡ ΗΒ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΑ, ΒΓ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. .
さて、直線 ΗΒ は、互いに交わる2本の直線 ΒΑ, ΒΓ に対して垂直に立てられているから、したがって ΗΒ は ΒΑ, ΒΓ を通る平面に対しても垂直である。
πρὸς ἃ δὲ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα·
ところで、同一の直線が垂直であるような平面同士は、平行である。
παράλληλον ἄρα ἐστὶ τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπίπεδον τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ.
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, παράλληλά ἐστι τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα·
したがって、ΑΒ, ΒΓ を通る平面は、ΔΕ, ΕΖ を通る平面に平行である。 したがって、もし互いに交わる2本の直線が、同じ平面上にない別の互いに交わる2本の直線に平行であるならば、それらを通る平面同士は平行である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。