§11.prop.16ἐὰν δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνηται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν.
如果两个平行平面被任意平面所截，那么它们的公共交线是平行的。
δύο γὰρ ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΖΗΘ τεμνέσθω, κοιναὶ δὲ αὐτῶν τομαὶ ἔστωσαν αἱ ΕΖ, ΗΘ· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ.
εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ ΕΖ, ΗΘ ἤτοι ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Ε, Η συμπεσοῦνται.
因为，设两个平行平面 ΑΒ、ΓΔ 被平面 ΕΖΗΘ 所截，它们的公共交线为 ΕΖ、ΗΘ；我说，ΕΖ 平行于 ΗΘ。 因为如果不是这样，ΕΖ、ΗΘ 在延长时，要么在 Ζ、Θ 侧相交，要么在 Ε、Η 侧相交。
ἐκβεβλήσθωσαν ὡς ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη καὶ συμπιπτέτωσαν πρότερον κατὰ τὸ Κ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖΚ ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ, καὶ πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς ΕΖΚ σημεῖα ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ.
设它们向 Ζ、Θ 侧延长，并首先交于点 Κ。 又因为 ΕΖΚ 在平面 ΑΒ 内，所以 ΕΖΚ 上的所有点也都在平面 ΑΒ 内。
ἓν δὲ τῶν ἐπὶ τῆς ΕΖΚ εὐθείας σημείων ἐστὶ τὸ Κ· τὸ Κ ἄρα ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ.
而直线 ΕΖΚ 上的点之一是 Κ；所以 Κ 在平面 ΑΒ 内。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ Κ καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἐστιν ἐπιπέδῳ· τὰ ΑΒ, ΓΔ ἄρα ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται.
由于同样的原因，Κ 也在平面 ΓΔ 内；所以平面 ΑΒ、ΓΔ 在延长时会相交。
οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παράλληλα ὑποκεῖσθαι· οὐκ ἄρα αἱ ΕΖ, ΗΘ εὐθεῖαι ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη συμπεσοῦνται.
但它们并不相交，因为它们被假设是平行的；所以直线 ΕΖ、ΗΘ 在向 Ζ、Θ 侧延长时不会相交。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι αἱ ΕΖ, ΗΘ εὐθεῖαι οὐδὲ ἐπὶ τὰ Ε, Η μέρη ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται.
同样地，我们将证明直线 ΕΖ、ΗΘ 在向 Ε、Η 侧延长时也不会相交。
αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν.
而向任何一侧都不相交的直线是平行的。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ.
ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνηται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以 ΕΖ 平行于 ΗΘ。 因此，如果两个平行平面被任意平面所截，那么它们的公共交线是平行的；这就是所要证明的。
§11.prop.17ἐὰν δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται.
如果两条直线被平行平面所截，那么它们将被截成相同的比。
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ Α, Ε, Β, Γ, Ζ, Δ σημεῖα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΔ, ΑΔ, καὶ συμβαλλέτω ἡ ΑΔ τῷ ΚΛ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ξ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΞ, ΞΖ. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΚΛ, ΜΝ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΒΔΞ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΕΞ, ΒΔ παράλληλοί εἰσιν.
因为，设两条直线 ΑΒ、ΓΔ 被平行平面 ΗΘ、ΚΛ、ΜΝ 截于点 Α、Ε、Β、 Γ、Ζ、Δ；我说，正如直线 ΑΕ 比 ΕΒ，ΓΖ 也比 ΖΔ。 因为，设 ΑΓ、ΒΔ、ΑΔ 被连接，且 ΑΔ 与平面 ΚΛ 交于点 Ξ，连接 ΕΞ、ΞΖ。 又因为两个平行平面 ΚΛ、 ΜΝ 被平面 ΕΒΔΞ 所截，它们的公共交线 ΕΞ、ΒΔ 是平行的。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΗΘ, ΚΛ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΞΖΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΑΓ, ΞΖ παράλληλοί εἰσιν.
由于同样的原因，因为两个平行平面 ΗΘ、ΚΛ 被平面 ΑΞΖΓ 所截，它们的公共交线 ΑΓ、ΞΖ 是平行的。
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΔ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΔ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΕΞ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ. πάλιν ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΓ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΞΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ.
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
又因为在三角形 ΑΒΔ 中，直线 ΕΞ 平行于其中一边 ΒΔ 引出，所以成比例地，正如 ΑΕ 比 ΕΒ，ΑΞ 也比 ΞΔ。 再者，因为在三角形 ΑΔΓ 中，直线 ΞΖ 平行于其中一边 ΑΓ 引出，成比例地，正如 ΑΞ 比 ΞΔ，ΓΖ 也比 ΖΔ。 而已经证明，正如 ΑΞ 比 ΞΔ， ΑΕ 也比 ΕΒ；所以，正如 ΑΕ 比 ΕΒ，ΓΖ 也比 ΖΔ。 因此，如果两条直线被平行平面所截，它们将被截成相同的比；这就是所要证明的。