§11.prop.14πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλα ἔσται τὰ ἐπίπεδα.
같은 직선이 수직인 평면들은 서로 평행하다.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΔ, ΕΖ ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἔστω·
왜냐하면 어떤 직선 ΑΒ가 평면 ΓΔ, ΕΖ 각각에 수직이라 하자.
λέγω, ὅτι παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα.
나는 이 평면들이 평행하다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται.
만약 그렇지 않다면, 그것들은 연장될 때 만날 것이다.
συμπιπτέτωσαν·
만난다고 하자.
ποιήσουσι δὴ κοινὴν τομὴν εὐθεῖαν.
그것들은 공통의 교선으로 하나의 직선을 만들 것이다.
ποιείτωσαν τὴν ΗΘ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΗΘ τυχὸν σημεῖον τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΒΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ πρὸς τὴν ΒΚ ἄρα εὐθεῖαν οὖσαν ἐν τῷ ΕΖ ἐκβληθέντι ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ·
그것을 ΗΘ라 하고, ΗΘ 위에 임의의 점 Κ를 잡고, ΑΚ, ΒΚ를 잇자. 그리고 ΑΒ는 평면 ΕΖ에 수직이므로, 따라서 ΑΒ는 연장된 평면 ΕΖ 위에 있는 직선 ΒΚ에 대해서도 수직이다.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΚ γωνία ὀρθή ἐστιν.
그러므로 각 ΑΒΚ는 직각이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΚ ὀρθή ἐστιν.
같은 이유로 각 ΒΑΚ도 직각이다.
τριγώνου δὴ τοῦ ΑΒΚ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΚ, ΒΑΚ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι·
따라서 삼각형 ΑΒΚ의 두 각 ΑΒΚ, ΒΑΚ의 합이 두 직각과 같다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τὰ ΓΔ, ΕΖ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται·
그러므로 평면 ΓΔ, ΕΖ는 연장되어도 만나지 않는다.
παράλληλα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΔ, ΕΖ ἐπίπεδα.
따라서 평면 ΓΔ, ΕΖ는 평행하다.
πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἄρα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα·
그러므로 같은 직선이 수직인 평면들은 평행하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§11.prop.15ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, παράλληλά ἐστι τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα.
만약 서로 만나는 두 직선이, 같은 평면 위에 있지 않으면서, 서로 만나는 다른 두 직선과 각각 평행하면, 그것들을 지나는 평면들은 평행하다.
δύο γὰρ εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΑΒ, ΒΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΔΕ, ΕΖ ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι·
왜냐하면 서로 만나는 두 직선 ΑΒ, ΒΓ가, 같은 평면 위에 있지 않으면서, 서로 만나는 다른 두 직선 ΔΕ, ΕΖ와 각각 평행하다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐκβαλλόμενα τὰ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδα οὐ συμπεσεῖται ἀλλήλοις.
나는 ΑΒ, ΒΓ를 지나는 평면과 ΔΕ, ΕΖ를 지나는 평면이 연장될 때 서로 만나지 않는다고 주장한다.
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΒΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ μὲν ΕΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ, τῇ δὲ ΕΖ ἡ ΗΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΗ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.
왜냐하면 점 Β로부터 ΔΕ, ΕΖ를 지나는 평면에 수선 ΒΗ를 긋고 그것이 평면과 점 Η에서 만나게 하며, Η를 지나며 ΕΔ와 평행하게 ΗΘ를, ΕΖ와 평행하게 ΗΚ를 긋자. 그리고 ΒΗ는 ΔΕ, ΕΖ를 지나는 평면에 수직이므로, 그것은 자신과 만나고 ΔΕ, ΕΖ를 지나는 평면 위에 있는 모든 직선들과 직각을 이룰 것이다.
ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα τῶν ΗΘ, ΗΚ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπιπέδῳ·
그런데 ΔΕ, ΕΖ를 지나는 평면 위에 있는 ΗΘ, ΗΚ 각각이 그것과 만난다.
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΒΗΚ γωνιῶν.
그러므로 각 ΒΗΘ, ΒΗΚ 각각은 직각이다.
καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΑ τῇ ΗΘ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΗΒΑ, ΒΗΘ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그리고 ΒΑ는 ΗΘ와 평행하므로, 각 ΗΒΑ, ΒΗΘ의 합은 두 직각과 같다.
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΘ·
그런데 각 ΒΗΘ는 직각이다.
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒΑ·
그러므로 각 ΗΒΑ도 직각이다.
ἡ ΗΒ ἄρα τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
따라서 ΗΒ는 ΒΑ와 수직이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΗΒ καὶ τῇ ΒΓ ἐστι πρὸς ὀρθάς.
같은 이유로 ΗΒ는 ΒΓ와도 수직이다.
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΗΒ δυσὶν εὐθείαις ταῖς ΒΑ, ΒΓ τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν, ἡ ΗΒ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΑ, ΒΓ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
직선 ΗΒ가 서로 만나는 두 직선 ΒΑ, ΒΓ에 수직으로 세워져 있으므로, 따라서 ΗΒ는 ΒΑ, ΒΓ를 지나는 평면과도 수직이다.
. πρὸς ἃ δὲ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα·
그런데 같은 직선이 수직인 평면들은 서로 평행하다.
παράλληλον ἄρα ἐστὶ τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπίπεδον τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ.
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, παράλληλά ἐστι τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα·
그러므로 ΑΒ, ΒΓ를 지나는 평면은 ΔΕ, ΕΖ를 지나는 평면과 평행하다. 그러므로 만약 서로 만나는 두 직선이, 같은 평면 위에 있지 않으면서, 서로 만나는 다른 두 직선과 각각 평행하면, 그것들을 지나는 평면들은 평행하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.