§10.prop3.112τὸ ἀπὸ ῥητῆς παρὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομήν, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι καὶ ἔτι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ γινομένη ἀποτομὴ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.
有理线上的正方形贴至二项线时，所产生的宽度是一条余线，其两项与二项线的两项可共测，比例相同，且产生的余线将与二项线具有相同的序列。
ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἐκ δύο ὀνομάτων δὲ ἡ ΒΓ, ἧς μεῖζον ὄνομα ἔστω ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἀποτομή ἐστιν, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς ΓΔ, ΔΒ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΕΖ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ΒΓ.
ἔστω γὰρ πάλιν τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, Η. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, Η, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ Η πρὸς τὴν ΕΖ. μείζων δὲ ἡ ΓΒ τῆς ΒΔ· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Η τῆς ΕΖ. ἔστω τῇ Η ἴση ἡ ΕΘ·
设A为有理线，BΓ为二项线，且设ΔΓ为其较大的一项，并设由BΓ、EZ包围的矩形等于A上的正方形；我说EZ是一条余线，其两项与ΓΔ、ΔB可共测，且比例相同，而且EZ与BΓ具有相同的序列。 因为设由BΔ、H包围的矩形再次等于A上的正方形。 由于由BΓ、EZ包围的矩形等于由BΔ、H包围的矩形，因此ΓB比BΔ等于H比EZ。 而ΓB大于BΔ；因此 H亦大于EZ。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ· διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ. γεγονέτω ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΕ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ὅλην τὴν ΚΖ ἐστιν, ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ· ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.
设EΘ等于H；因此，ΓB比BΔ等于ΘE比EZ；因此，通过分离比，ΓΔ比BΔ等于ΘΖ比ΖΕ。 设作得ΘΖ比ΖΕ等于ΖΚ比ΚΕ；因此，整体ΘK比整体KΖ亦等于 ΖΚ比ΚΕ；因为前件之一比后件之一，等于所有前件之和比所有后件之和。
ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΖ. καί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΕ, ἐπεὶ αἱ τρεῖς αἱ ΘΚ, ΚΖ, ΚΕ ἀνάλογόν εἰσιν.
而ΖΚ比ΚΕ等于ΓΔ比ΔB；因此ΘK比KZ亦等于ΓΔ比ΔB。 而ΓΔ上的正方形与 ΔB上的正方形可共测；因此ΘK上的正方形与KZ上的正方形亦可共测。 并且，ΘK上的正方形比KZ上的正方形等于ΘK比KE，因为ΘK、KZ、KE这三条线是成比例的。
σύμμετρος ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΚΕ μήκει· ὥστε καὶ ἡ ΘΕ τῇ ΕΚ σύμμετρός ἐστι μήκει.
因此ΘK在长度上与KE可共测；从而ΘE在长度上与EK亦可共测。
καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ, ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς Α, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΔ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει· ὥστε καὶ ἡ σύμμετρος αὐτῇ ἡ ΕΚ ῥητή ἐστι καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει.
且由于A上的正方形等于由EΘ、BΔ包围的矩形，而A上的正方形是有理的，因此由EΘ、BΔ包围的矩形亦是有理的。 且它贴至有理线BΔ；因此EΘ是有理的且在长度上与BΔ可共测；从而与它可共测的EK亦是有理的且在长度上与BΔ可共测。
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, αἱ δὲ ΓΔ, ΔΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, καὶ αἱ ΖΚ, ΚΕ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
由于ΓΔ比ΔB等于ΖΚ比ΚΕ，而ΓΔ、ΔB仅在平方上可共测，因此ΖΚ、ΚΕ亦仅在平方上可共测。
ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΚ. αἱ ΖΚ, ΚΕ ἄρα ῥηταὶ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ.
ἤτοι δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
而KE是有理的；因此ΖΚ亦是有理的。 因此ΖΚ、ΚΕ是有理线且仅在平方上可共测；因此EZ是余线。 而ΓΔ在平方上比ΔB大了一个与自身可共测的线上的正方形，或者大了一个不可共测的线上的正方形。
εἰ μὲν οὖν ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου, καὶ ἡ ΖΚ τῆς ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
如果ΓΔ在平方上比ΔB大了一个与自身可共测的线上的正方形，则ΖΚ在平方上比ΚΕ 亦大了一个与自身可共测的线上的正方形。
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ· εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ· εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ.
εἰ δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΖΚ τῆς ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
且若ΓΔ在长度上与所给的有理线可共测，则ΖΚ亦可共测；若BΔ可共测，则KE亦可共测；若ΓΔ、ΔB皆不可共测，则ΖΚ、ΚΕ亦皆不可共测。 但如果ΓΔ在平方上比ΔB大了一个与自身不可共测的线上的正方形，则ΖΚ在平方上比ΚΕ亦大了一个与自身不可共测的线上的正方形。
καὶ εἰ μὲν ἡ ΓΔ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ· εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ· εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ· ὥστε ἀποτομή ἐστιν ἡ ΖΕ, ἧς τὰ ὀνόματα τὰ ΖΚ, ΚΕ σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖς ΓΔ, ΔΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
且若ΓΔ在长度上与所给的有理线可共测，则ΖΚ亦可共测；若BΔ可共测，则KE亦可共测；若ΓΔ、ΔB两者皆不可共测，则ΖΚ、ΚΕ两者亦皆不可共测；因此，ΖE是余线，其两项ΖΚ、 ΚΕ与二项线的两项ΓΔ、ΔB可共测，比例相同，且与BΓ具有相同的序列；这就是所要证明的。