§10.prop3.112τὸ ἀπὸ ῥητῆς παρὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομήν, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι καὶ ἔτι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ γινομένη ἀποτομὴ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.
有理（直線）上の正方形が二項（直線）に沿って適用されるとき、それは幅としてアポトメを作り、その（アポトメの）名は二項（直線）の名と通約可能であって、さらに同じ比にあり、かつ、作られるアポトメは、二項（直線）と同一の序列を持つ。
ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἐκ δύο ὀνομάτων δὲ ἡ ΒΓ, ἧς μεῖζον ὄνομα ἔστω ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ·
Aを有理（直線）とし、BΓを二項（直線）として、その大きい方の名をΔΓとせよ。 そして、A上の正方形に等しい長方形を、BΓとEZによって囲まれる（長方形）とせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἀποτομή ἐστιν, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς ΓΔ, ΔΒ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΕΖ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ΒΓ.
ἔστω γὰρ πάλιν τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, Η. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, Η, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ Η πρὸς τὴν ΕΖ. μείζων δὲ ἡ ΓΒ τῆς ΒΔ·
私は、EZがアポトメであり、その名がΓΔ, ΔBと通約可能で、同じ比にあり、さらにEZがBΓと同じ序列を持つと主張する。 なぜなら、再びA上の正方形に等しい長方形を、BΔとHによって囲まれる（長方形）とせよ。 したがって、BΓとEZ（によって囲まれる長方形）がBΔとH（によって囲まれる長方形）に等しいので、ΓB対BΔは、H対EZである。 ところが、ΓBはBΔより大きい。
μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Η τῆς ΕΖ. ἔστω τῇ Η ἴση ἡ ΕΘ·
したがって、 HもEZより大きい。 Hに等しいものをEΘとせよ。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ·
したがって、ΓB対BΔは、ΘE対EZである。
διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ. γεγονέτω ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΕ·
それゆえ、比を分離すれば、ΓΔ対BΔは、ΘΖ対ΖΕである。 ΘΖ対ΖΕが、ΖΚ対ΚΕとなるようにせよ。
καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ὅλην τὴν ΚΖ ἐστιν, ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ·
したがって、全体ΘK対全体KΖも、 ΖΚ対ΚΕである。
ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.
なぜなら、前件の一つ対後件の一つは、すべての前件の和対すべての後件の和であるからである。
ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ·
ところで、ΖΚ対ΚΕは、ΓΔ対ΔBである。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ·
したがって、ΘΚ対ΚΖも、ΓΔ対ΔBである。 ところが、ΓΔ上の正方形は、ΔB上の正方形と通約可能である。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΖ. καί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΕ, ἐπεὶ αἱ τρεῖς αἱ ΘΚ, ΚΖ, ΚΕ ἀνάλογόν εἰσιν.
したがって、ΘΚ上の正方形も、ΚΖ上の正方形と通約可能である。 そして、ΘΚ上の正方形対ΚΖ上の正方形は、ΘΚ対ΚΕである。 なぜなら3つの直線ΘΚ, ΚΖ, ΚΕは比例関係にあるからである。
σύμμετρος ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΚΕ μήκει·
したがって、ΘΚはΚΕと長さにおいて通約可能である。
ὥστε καὶ ἡ ΘΕ τῇ ΕΚ σύμμετρός ἐστι μήκει.
それゆえ、ΘΕもΕΚと長さにおいて通約可能である。
καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ, ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς Α, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΔ παράκειται·
そして、A上の正方形はEΘ, BΔの矩形に等しく、A上の正方形は有理であるから、EΘ, BΔの矩形も有理である。 そして、それは有理直線BΔに沿って適用されている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει·
したがって、EΘは有理直線であり、BΔと長さにおいて通約可能である。
ὥστε καὶ ἡ σύμμετρος αὐτῇ ἡ ΕΚ ῥητή ἐστι καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει.
それゆえ、これと通約可能なΕΚも有理直線であり、BΔと長さにおいて通約可能である。
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, αἱ δὲ ΓΔ, ΔΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, καὶ αἱ ΖΚ, ΚΕ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
したがって、ΓΔ対ΔBはΖΚ対ΚΕであり、かつΓΔ, ΔBは平方においてのみ通約可能であるから、ΖΚ, ΚΕも平方においてのみ通約可能である。
ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ·
ところが、ΚΕは有理直線である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΚ. αἱ ΖΚ, ΚΕ ἄρα ῥηταὶ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι·
したがって、ΖΚも有理直線である。 したがって、ΖΚ, ΚΕは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ.
ἤτοι δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
したがって、ΕΖはアポトメである。 そして、ΓΔはΔBよりも、自身に通約可能な直線上の正方形の分だけ平方において大きいか、または通約不可能な直線上の正方形の分だけ平方において大きい。
εἰ μὲν οὖν ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου, καὶ ἡ ΖΚ τῆς ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
もし、ΓΔがΔBよりも、自身に通約可能な直線上の正方形の分だけ平方において大きいならば、ΖΚもΚΕよりも、自身に通約可能な直線上の正方形の分だけ平方において大きくなる。
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ· εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ·
そして、もしΓΔが置かれた有理直線と長さにおいて通約可能なら、ΖΚも（通約可能）であり、もしBΔなら、ΚΕも（通約可能）であり、もしΓΔ, ΔBのいずれでもないなら、ΖΚ, ΚΕのいずれでもない。
εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ.
εἰ δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΖΚ τῆς ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
もし、ΓΔがΔBよりも、自身に通約不可能な直線上の正方形の分だけ平方において大きいならば、 ΖΚもΚΕよりも、自身に通約不可能な直線上の正方形の分だけ平方において大きくなる。
καὶ εἰ μὲν ἡ ΓΔ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ· εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ· εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ·
そして、もしΓΔが置かれた有理直線と長さにおいて通約可能なら、ΖΚも（通約可能）であり、もしBΔなら、ΚΕも（通約可能）であり、もしΓΔ, ΔBのいずれでもないなら、ΖΚ, ΚΕのいずれでもない。
ὥστε ἀποτομή ἐστιν ἡ ΖΕ, ἧς τὰ ὀνόματα τὰ ΖΚ, ΚΕ σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖς ΓΔ, ΔΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ΒΓ·
それゆえ、ΖΕはアポトメであり、その名であるΖΚ, ΚΕは、二項（直線）の名であるΓΔ, ΔBと通約可能で、かつ同じ比にあり、さらにBΓと同じ序列を持つ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。