§10.prop3.113τὸ ἀπὸ ῥητῆς παρὰ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἔτι δὲ ἡ γινομένη ἐκ δύο ὀνομάτων τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ἀποτομῇ.
有理线上的正方形贴至余线时，所产生的宽度是一条二项线，其两项与余线的两项可共测，比例相同，且产生的二项线将与余线具有相同的序列。
ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἀποτομὴ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς Α ῥητῆς παρὰ τὴν ΒΔ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ΚΘ· λέγω, ὅτι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ΒΔ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τὴν αὐτὴν ἔχει τάξιν τῇ ΒΔ.
ἔστω γὰρ τῇ ΒΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΓ·
设A为有理线，BΔ为余线，并设由BΔ、KΘ包围的矩形等于A上的正方形，使得有理线A上的正方形贴至余线BΔ时产生KΘ为宽度；我说KΘ是一条二项线，其两项与BΔ的两项可共测，且比例相同，而且KΘ与BΔ具有相同的序列。
αἱ ΒΓ, ΓΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
因为设ΔΓ为贴至BΔ的附线；因此BΓ、ΓΔ是仅在平方上可共测的有理线。
καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α·
并设由BΓ、H包围的矩形亦等于A上的正方形。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΓ παραβέβληται·
而A上的正方形是有理的；因此由BΓ、H包围的矩形亦是有理的。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει.
且它贴至有理线BΓ；因此H是有理的且在长度上与BΓ可共测。
ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς Η. μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΒΔ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΘ τῆς Η. κείσθω τῇ Η ἴση ἡ ΚΕ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΒΓ μήκει.
由于由BΓ、H包围的矩形等于由BΔ、KΘ包围的矩形，因此成比例地，ΓB比BΔ等于KΘ比H。 而BΓ大于BΔ；因此KΘ亦大于H。 设KE等于H；因此KE在长度上与BΓ可共测。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΚΕ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ. γεγονέτω ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, τουτέστιν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ. αἱ δὲ ΒΓ, ΓΔ δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
并且由于ΓB比BΔ等于ΘK比KE，因此通过反转比，BΓ比ΓΔ等于KΘ比ΘE。 设作得KΘ比ΘE等于ΘΖ比ΖΕ；因此剩下的KΖ比ΖΘ亦等于KΘ比ΘE，即BΓ比ΓΔ。 可是 BΓ、ΓΔ仅在平方上可共测；因此KΖ、ΖΘ亦仅在平方上可共测。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἀλλʼ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ· ὥστε καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ. σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ·
又由于KΘ比ΘE等于KΖ比ΖΘ，而KΘ比ΘE等于ΘΖ比ΖΕ，因此KΖ比ΖΘ亦等于ΘΖ比ΖΕ；从而，第一比第三等于第一上的正方形比第二上的正方形；因此KΖ比ΖΕ亦等于KΖ上的正方形比ΖΘ上的正方形。
αἱ γὰρ ΚΖ, ΖΘ δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι· σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΚΖ τῇ ΖΕ μήκει· ὥστε ἡ ΚΖ καὶ τῇ ΚΕ σύμμετρός μήκει.
但KΖ上的正方形与ΖΘ上的正方形可共测；因为KΖ、ΖΘ在平方上可共测；因此KΖ在长度上亦与ΖΕ可共测；从而KΖ在长度上亦与KE 可共测。
ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει.
而KE是有理的且在长度上与BΓ可共测；因此KΖ亦是有理的且在长度上与BΓ可共测。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς ΖΘ. σύμμετρος δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΚΖ· σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΓΔ μήκει.
并且由于BΓ比ΓΔ等于KΖ比ΖΘ，因此交互地，BΓ比KΖ等于ΔΓ比ΖΘ。 而BΓ与KΖ可共测；因此 ΖΘ在长度上亦与ΓΔ可共测。
αἱ ΒΓ, ΓΔ δὲ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἄρα ἡ ΚΘ.
εἰ μὲν οὖν ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆς ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
但BΓ、ΓΔ是有理线且仅在平方上可共测；因此KΖ、ΖΘ亦是有理线且仅在平方上可共测；因此KΘ是一条二项线。 如果BΓ在平方上比ΓΔ大了一个与自身可共测的线上的正方形，则KΖ在平方上比ΖΘ 亦大了一个与自身可共测的线上的正方形。
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ.
εἰ δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆς ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
且若BΓ在长度上与所给的有理线可共测，则KΖ亦可共测；若ΓΔ在长度上与所给的有理线可共测，则ΖΘ亦可共测；若BΓ、ΓΔ皆不可共测，则KΖ、ΖΘ亦皆不可共测。 但如果BΓ在平方上比ΓΔ大了一个与自身不可共测的线上的正方形，则KΖ在平方上比ΖΘ亦大了一个与自身不可共测的线上的正方形。
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἡ ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ.
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧς τὰ ὀνόματα τὰ ΚΖ, ΖΘ σύμμετρά τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι τοῖς ΒΓ, ΓΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τῇ ΒΓ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
且若BΓ在长度上与所给的有理线可共测，则KΖ亦可共测；若ΓΔ可共测，则ΖΘ亦可共测；若BΓ、ΓΔ两者皆不可共测，则KΖ、ΖΘ两者亦皆不可共测；因此，KΘ是一条二项线，其两项 KΖ、ΖΘ与余线的两项BΓ、ΓΔ可共测，比例相同，且KΘ与BΓ具有相同的序列；这就是所要证明的。