§10.prop3.112τὸ ἀπὸ ῥητῆς παρὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομήν, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι καὶ ἔτι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ γινομένη ἀποτομὴ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.
유리 직선 위의 정사각형을 이항명선에 적용하여 만든 폭은 아포토메가 되며, 이 아포토메의 각 명은 이항명선의 각 명과 통약 가능하고 비율이 같으며, 또한 새로이 만들어지는 아포토메는 이항명선과 동일한 순서를 가진다.
ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἐκ δύο ὀνομάτων δὲ ἡ ΒΓ, ἧς μεῖζον ὄνομα ἔστω ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ·
A를 유리 직선이라 하고, BΓ를 이항명선이라 하며, 그중 더 큰 명을 ΔΓ라 하고, BΓ와 EZ로 둘러싸인 직사각형이 A 위의 정사각형과 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἀποτομή ἐστιν, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς ΓΔ, ΔΒ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΕΖ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ΒΓ.
ἔστω γὰρ πάλιν τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, Η. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, Η, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ Η πρὸς τὴν ΕΖ. μείζων δὲ ἡ ΓΒ τῆς ΒΔ·
나는 EZ가 아포토메이며, 그것의 각 명은 ΓΔ, ΔB와 통약 가능하고 비율이 같으며, 또한 EZ는 BΓ와 동일한 순서를 가진다고 주장한다.
μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Η τῆς ΕΖ. ἔστω τῇ Η ἴση ἡ ΕΘ·
다시 A 위의 정사각형과 같은 직사각형을 BΔ와 H로 둘러싸인 직사각형이라 하자. BΓ와 EZ로 둘러싸인 직사각형이 BΔ와 H로 둘러싸인 직사각형과 같으므로, ΓB 대 BΔ는 H 대 EZ이다. 그런데 ΓB는 BΔ보다 크다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ·
그러므로 H 역시 EZ보다 크다. H와 같은 것을 EΘ라 하자.
διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ. γεγονέτω ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΕ·
그러므로 ΓB 대 BΔ는 ΘE 대 EZ이다.
καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ὅλην τὴν ΚΖ ἐστιν, ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ·
그러므로 비를 분할하면, ΓΔ 대 BΔ는 ΘΖ 대 ΖΕ이다. ΘΖ 대 ΖΕ가 ΖΚ 대 ΚΕ가 되도록 잡자.
ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.
그러므로 전체 ΘK 대 전체 KΖ 역시 ΖΚ 대 ΚΕ이다.
ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ·
왜냐하면 전건 중 하나 대 후건 중 하나는 모든 전건의 합 대 모든 후건의 합이기 때문이다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ·
그런데 ΖΚ 대 ΚΕ는 ΓΔ 대 ΔB이다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΖ. καί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΕ, ἐπεὶ αἱ τρεῖς αἱ ΘΚ, ΚΖ, ΚΕ ἀνάλογόν εἰσιν.
그러므로 ΘK 대 KZ 역시 ΓΔ 대 ΔB이다. 그런데 ΓΔ 위의 정사각형은 ΔB 위의 정사각형과 통약 가능하다.
σύμμετρος ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΚΕ μήκει·
그러므로 ΘK 위의 정사각형 역시 KZ 위의 정사각형과 통약 가능하다. 그리고 세 직선 ΘK, KZ, KE가 비례 관계에 있으므로, ΘK 위의 정사각형 대 KZ 위의 정사각형은 ΘK 대 KE이다.
ὥστε καὶ ἡ ΘΕ τῇ ΕΚ σύμμετρός ἐστι μήκει.
그러므로 ΘK는 KE와 길이에서 통약 가능하다.
καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ, ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς Α, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΔ παράκειται·
따라서 ΘE 역시 EK와 길이에서 통약 가능하다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει·
그리고 A 위의 정사각형은 EΘ와 BΔ로 둘러싸인 직사각형과 같고, A 위의 정사각형은 유리 영역이므로 EΘ와 BΔ로 둘러싸인 직사각형 역시 유리 영역이다. 그리고 이것은 유리 직선 BΔ에 적용되어 있다.
ὥστε καὶ ἡ σύμμετρος αὐτῇ ἡ ΕΚ ῥητή ἐστι καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει.
그러므로 EΘ는 유리 직선이며 BΔ와 길이에서 통약 가능하다.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, αἱ δὲ ΓΔ, ΔΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, καὶ αἱ ΖΚ, ΚΕ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
따라서 이와 통약 가능한 EK 역시 유리 직선이며 BΔ와 길이에서 통약 가능하다.
ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ·
그러므로 ΓΔ 대 ΔB는 ΖΚ 대 ΚΕ이고 ΓΔ, ΔB는 제곱에서만 통약 가능하므로, ΖΚ, ΚΕ 역시 제곱에서만 통약 가능하다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΚ. αἱ ΖΚ, ΚΕ ἄρα ῥηταὶ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι·
그런데 KE는 유리 직선이다.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ.
ἤτοι δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
그러므로 ΖΚ 역시 유리 직선이다. 그러므로 ΖΚ, ΚΕ는 제곱에서만 통약 가능한 유리 직선들이다.
εἰ μὲν οὖν ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου, καὶ ἡ ΖΚ τῆς ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 EZ는 아포토메 이다.
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ·
그리고 ΓΔ는 ΔB보다 제곱에서 자신과 통약 가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크거나, 혹은 통약 불가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크다.
εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ·
만약 ΓΔ가 ΔB보다 제곱에서 자신과 통약 가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크다면, ΖΚ 역시 ΚΕ보다 제곱에서 자신과 통약 가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 될 것이다.
εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ.
εἰ δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΖΚ τῆς ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν ἡ ΓΔ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ·
그리고 만약 ΓΔ가 주어진 유리 직선과 길이에서 통약 가능하다면 ΖΚ 역시 그러하고, 만약 BΔ가 그러하다면 KE 역시 그러하며, 만약 ΓΔ, ΔB 중 어느 것도 그러하지 않다면 ΖΚ, ΚΕ 중 어느 것도 그러하지 않다.
εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ·
그러나 만약 ΓΔ가 ΔB보다 제곱에서 자신과 통약 불가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크다면, ΖΚ 역시 ΚΕ보다 제곱에서 자신과 통약 불가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 될 것이다.
εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ·
그리고 만약 ΓΔ가 주어진 유리 직선과 길이에서 통약 가능하다면 ΖΚ 역시 그러하고, 만약 BΔ가 그러하다면 KE 역시 그러하며, 만약 두 직선 ΓΔ, ΔB 중 어느 것도 그러하지 않다면 두 직선 ΖΚ, ΚΕ 중 어느 것도 그러하지 않다.
ὥστε ἀποτομή ἐστιν ἡ ΖΕ, ἧς τὰ ὀνόματα τὰ ΖΚ, ΚΕ σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖς ΓΔ, ΔΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ΒΓ·
따라서 ΖE는 아포토메이고 그것의 각 명인 ΖΚ, ΚΕ는 이항명선의 각 명인 ΓΔ, ΔB와 통약 가능하며 비율이 같고 BΓ와 동일한 순서를 가진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보이고자 하는 일이었다.