余线与二项线的相异及十三种无理线的区分

余线与二项线并非同一。

ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων. 设AB为余线；我说AB与二项线并非同一。

εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΕ. ἐπεὶ οὖν ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἀποτομὴ πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ. ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΖ· αἱ ΔΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΖ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΔΖ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ, ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ. διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Η, καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΔΗ· αἱ ΔΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΗ τῆς ΗΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ μεῖζον ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ. καὶ ἡ ΔΖ ἄρα τῇ ΔΗ σύμμετρός ἐστι μήκει· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΖ μήκει. ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΕΖ μήκει· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ μήκει. αἱ ΗΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ. ἀλλὰ καὶ ῥητή· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. 因为，如果可能，设其相同；且设给出有理线DΓ，并将等于AB上正方形的矩形ΓE贴至ΓD，产生DE作为宽度。 因为AB是余线，所以DE是第一余线。 设其伴线为EZ；因此DZ、ZE是有理线且仅在平方上可共测，并且DZ在平方上比ZE大了一个与自身在长度上可共测的线上的正方形，且DZ在长度上与所给的有理线DΓ可共测。 再次，因为AB是二项线，所以DE是第一二项线。 设它在H处被分割成它的两项，且设 DH为较大的一项；因此DH、HE是有理线且仅在平方上可共测，DH在平方上比HE大了一个与自身可共测的线上的正方形，且较大的一项DH在长度上与所给的有理线DΓ可共测。 因此DZ也在长度上与DH可共测；因此剩下的HZ在长度上亦与DZ可共测。 但DZ在长度上与EZ不可共测；因此ZH在长度上与EZ亦不可共测。 因此HZ、ZE是有理线且仅在平方上可共测；因此EH是余线。 但它也是有理的，这显然是不可能的。

ἡ ἄρα ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 因此余线与二项线并非同一；这就是所要证明的。

ἡ ἀποτομὴ καὶ αἱ μετʼ αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ οὔτε ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ αὐταί. 余线以及在它之后的各无理线既与中线不同，也互不相同。

τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, πααʼ ἣν παράκειται, μήκει, τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην, τὸ δὲ ἀπὸ ἐλάσσονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην. ἐπεὶ οὖν τὰ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων, τοῦ μὲν πρώτου, ὅτι ῥητή ἐστιν, ἀλλήλων δέ, ἐπεὶ τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί, δῆλον, ὡς καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ ἀποτομὴ οὐκ οὖσα ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων, ποιοῦσι δὲ πλάτη παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμεναι αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν ἀποτομὰς ἀκολούθως ἑκάστη τῇ τάξει τῇ καθʼ αὑτήν, αἱ δὲ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τὰς ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αὐταὶ τῇ τάξει ἀκολούθως, ἕτεραι ἄρα εἰσὶν αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν καὶ ἕτεραι αἱ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ὡς εἶναι τῇ τάξει πάσας ἀλόγους ιγ, 因为中线上的正方形贴至有理线时，所产生的宽度是有理的且在长度上与贴合线不可共测；而余线上的正方形贴至有理线时，所产生的宽度为第一余线；第一中线余线上的正方形贴至有理线时，所产生的宽度为第二余线；第二中线余线上的正方形贴至有理线时，所产生的宽度为第三余线；较小线上的正方形贴至有理线时，所产生的宽度为第四余线；与有理面积共同产生中项整体的线上的正方形贴至有理线时，所产生的宽度为第五余线；与中项面积共同产生中项整体的线上的正方形贴至有理线时，所产生的宽度为第六余线。

因此，由于上述各宽度与第一种宽度及彼此之间均不相同（与第一种宽度的不同在于第一种宽度是有理的，彼此之间的不同在于它们的序列不同），显而易见，这些无理线本身也彼此不同。

并且由于已经证明余线与二项线并非同一，而在余线之后的各线贴至有理线时，分别按照其自身的序列产生余线作为宽度，而在二项线之后的各线也各自按照其自身的序列产生二项线，所以在余线之后的线与在二项线之后的线是不同的，从而依序列总共有十三种无理线： μέσην, 中线、 ἐκ δύο ὀνομάτων, 二项线、 ἐκ δύο μέσων πρώτην, 第一双中线、 ἐκ δύο μέσων δευτέραν, 第二双中线、 μείζονα, 较大线、 ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένην, 能产生有理面积与中项面积之和的线、 δύο μέσα δυναμένην, 能产生两个中项面积之和的线、 ἀποτομήν, 余线、 μέσης ἀποτομὴν πρώτην, 第一中线余线、 μέσης ἀποτομὴν δευτέραν, 第二中线余线、 ἐλάσσονα, 较小线、 μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν, 与有理面积共同产生中项整体的线、 μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν. 与中项面积共同产生中项整体的线。