§10.prop2.79τῇ ἀποτομῇ μία προσαρμόζει εὐθεῖα ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.
对剪线而言，只有一条与其整体在平方上仅共测的有理线可以附合。
ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΒΓ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
设剪线为AB，且BC附合于它；因此AC、CB是有理线且仅在平方上共测。
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.
我说，对AB而言，不能附合另一条与其整体在平方上仅共测的有理线。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
因为，若可能，设BD附合于它；因此AD、DB也是有理线且仅在平方上共测。
καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· τῷ γὰρ αὐτῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἀμφότερα ὑπερέχει·
又因为，AD、DB上的正方形之和超过由AD、DB围成的矩形的两倍的那个差，也等于AC、CB上的正方形之和超过由AC、CB围成的矩形的两倍的那个差；因为两者超过了相同的量，即AB上的正方形。
ἐναλλὰξ ἄρα, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα.
因此，交互地，AD、DB上的正方形之和超过AC、CB上的正方形之和的那个差，也等于由AD、DB围成的矩形的两倍超过由AC、CB围成的矩形的两倍的那个差。 而AD、DB上的正方形之和超过AC、CB上的正方形之和的差是一个有理面积；因为两者都是有理的。
καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γὰρ ἀμφότερα, μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.
因此由AD、DB围成的矩形的两倍也超过由AC、CB围成的矩形的两倍一个有理面积；这是不可能的；因为两者都是中面的，而中面面积并不超过中面面积一个有理面积。
τῇ ἄρα ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.
因此，对AB而言，不能附合另一条与其整体在平方上仅共测的有理线。
μία ἄρα μόνη τῇ ἀποτομῇ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此对剪线而言，只有一条与其整体在平方上仅共测的有理线可以附合；这就是所要证明的。
§10.prop2.80τῇ μέσης ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα.
对第一中面剪线而言，只有一条与其整体在平方上仅共测、且与整体一起围成有理面积的中面线可以附合。
ἔστω γὰρ μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
因为，设第一中面剪线为AB，且BC 附合于AB；因此AC、CB是中面线，仅在平方上共测，且围成由AC、CB围成并作为有理的矩形。
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα.
我说，对AB而言，不能附合另一条与其整体在平方上仅共测、且与整体一起围成有理面积的中面线。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω καὶ ἡ ΔΒ. αἱ ἄρα ΑΔ, ΔΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· τῷ γὰρ αὐτῷ ὑπερέχουσι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
因为，若可能，设DB也附合于它；因此AD、DB是中面线，仅在平方上共测，且围成由AD、DB围成并作为有理的矩形。 又因为，AD、DB上的正方形之和超过由AD、DB围成的矩形的两倍的那个差，也等于AC、CB 上的正方形之和超过由AC、CB围成的矩形的两倍的那个差；因为它们超出了相同的量，即AB上的正方形。
ἐναλλὰξ ἄρα, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα.
因此，交互地，AD、DB上的正方形之和超过AC、CB上的正方形之和的那个差，也等于由AD、DB围成的矩形的两倍超过由AC、CB围成的矩形的两倍的那个差。 而由AD、DB围成的矩形的两倍超过由AC、CB围成的矩形的两倍一个有理面积；因为两者都是有理的。
καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα, μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.
因此AD、DB上的正方形之和也超过AC、CB上的正方形之和一个有理面积；这是不可能的；因为两者都是中面的，而中面面积并不超过中面面积一个有理面积。
τῇ ἄρα μέσης ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，对第一中面剪线而言，只有一条与其整体在平方上仅共测、且与整体一起围成有理面积的中面线可以附合；这就是所要证明的。