§10.prop2.79τῇ ἀποτομῇ μία προσαρμόζει εὐθεῖα ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.
아포토메에 대해서는 전체와 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이 오직 하나만 붙여진다.
ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΒΓ·
아포토메를 AB라 하고, 거기에 붙여지는 선을 BC라 하자.
αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 AC, CB는 유리선이며 제곱에서만 통약할 수 있다.
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.
나는 말한다, AB에 대해서는 전체와 제곱에서만 통약할 수 있는 다른 유리선이 붙여질 수 없다.
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ·
왜냐하면 만일 가능하다면 BD가 붙여진다고 하자.
καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러면 AD, DB도 유리선이며 제곱에서만 통약할 수 있다.
καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
그리고 AD, DB 위의 정사각형들의 합이 AD, DB에 의한 직사각형의 두 배를 초과하는 그 차이에 의해, AC, CB 위의 정사각형들의 합도 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배를 초과한다.
τῷ γὰρ αὐτῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἀμφότερα ὑπερέχει·
왜냐하면 둘 다 같은 것, 즉 AB 위의 정사각형만큼 초과하기 때문이다.
ἐναλλὰξ ἄρα, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
그러므로 교대로, AD, DB 위의 정사각형들의 합이 AC, CB 위의 정사각형들의 합을 초과하는 그 차이에 의해, AD, DB에 의한 직사각형의 두 배도 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배를 초과한다. 그런데 AD, DB 위의 정사각형들의 합은 AC, CB 위의 정사각형들의 합을 유리면적으로 초과한다.
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα.
왜냐하면 둘 다 유리이기 때문이다.
καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
그러므로 AD, DB에 의한 직사각형의 두 배도 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배를 유리면적으로 초과한다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
그러나 이것은 불가능하다.
μέσα γὰρ ἀμφότερα, μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.
왜냐하면 둘 다 중항면적이고, 중항면적은 중항면적을 유리면적으로 초과하지 못하기 때문이다.
τῇ ἄρα ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.
그러므로 AB에 대해서는 전체와 제곱에서만 통약할 수 있는 다른 유리선이 붙여질 수 없다.
μία ἄρα μόνη τῇ ἀποτομῇ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ·
그러므로 아포토메에 대해서는 전체와 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이 오직 하나만 붙여진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.
§10.prop2.80τῇ μέσης ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα.
제1 중항 아포토메에 대해서는 전체와 제곱에서만 통약할 수 있고 전체와 함께 유리면적을 둘러싸는 중항선이 오직 하나만 붙여진다.
ἔστω γὰρ μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ·
왜냐하면 제1 중항 아포토메를 AB라 하고, AB에 BC가 붙여진다고 하자.
αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
그러므로 AC, CB는 중항선이며 제곱에서만 통약할 수 있고 AC, CB에 의한 유리직사각형을 둘러싼다.
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα.
나는 말한다, AB에 대해서는 전체와 제곱에서만 통약할 수 있고 전체와 함께 유리면적을 둘러싸는 다른 중항선이 붙여질 수 없다.
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω καὶ ἡ ΔΒ. αἱ ἄρα ΑΔ, ΔΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
왜냐하면 만일 가능하다면 DB도 붙여진다고 하자. 그러므로 AD, DB는 중항선이며 제곱에서만 통약할 수 있고 AD, DB에 의한 유리직사각형을 둘러싼다. 그리고 AD, DB 위의 정사각형들의 합이 AD, DB에 의한 직사각형의 두 배를 초과하는 그 차이에 의해, AC, CB 위의 정사각형들의 합도 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배를 초과한다.
τῷ γὰρ αὐτῷ ὑπερέχουσι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
왜냐하면 그것들은 같은 것, 즉 AB 위의 정사각형만큼 초과하기 때문이다.
ἐναλλὰξ ἄρα, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
그러므로 교대로, AD, DB 위의 정사각형들의 합이 AC, CB 위의 정사각형들의 합을 초과하는 그 차이에 의해, AD, DB에 의한 직사각형의 두 배도 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배를 초과한다. 그런데 AD, DB에 의한 직사각형의 두 배는 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배를 유리면적으로 초과한다.
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα.
왜냐하면 둘 다 유리이기 때문이다.
καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
그러므로 AD, DB 위의 정사각형들의 합도 AC, CB 위의 정사각형들의 합을 유리면적으로 초과한다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
그러나 이것은 불가능하다.
μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα, μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.
왜냐하면 둘 다 중항면적이고, 중항면적은 중항면적을 유리면적으로 초과하지 못하기 때문이다.
τῇ ἄρα μέσης ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα·
그러므로 제1 중항 아포토메에 대해서는 전체와 제곱에서만 통약할 수 있고 전체와 함께 유리면적을 둘러싸는 중항선이 오직 하나만 붙여진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.