§10.prop2.79τῇ ἀποτομῇ μία προσαρμόζει εὐθεῖα ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.
アポトメーに対しては、全体と平方においてのみ通約可能である有理直線がただ1つだけ適合する。
ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΒΓ·
アポトメーをABとし、それに適合する直線をBCとせよ。
αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
それゆえAC, CBは有理線であり、平方においてのみ通約可能である。
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.
私は言う、ABに対して、全体と平方においてのみ通約可能である別の有理直線は適合しない。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ·
なぜなら、もし可能なら、BDが適合するとせよ。
καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
それゆえ、AD, DBもまた有理線であり、平方においてのみ通約可能である。
καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
そして、 AD, DB上の正方形の和が、AD, DBによる長方形の2倍を超えるその差によって、AC, CB上の正方形の和もまた、AC, CBによる長方形の2倍を超える。
τῷ γὰρ αὐτῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἀμφότερα ὑπερέχει·
なぜなら、両方とも、同じものであるAB上の正方形によって超えるからである。
ἐναλλὰξ ἄρα, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
したがって、交互に、AD, DB上の正方形の和がAC, CB上の正方形の和を超えるその差によって、 AD, DBによる長方形の2倍もまた、AC, CBによる長方形の2倍を超える。 ところで、AD, DB上の正方形の和は、AC, CB上の正方形の和を、有理（面積）によって超える。
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα.
なぜなら、両方とも有理だからである。
καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
したがって、AD, DBによる長方形の2倍もまた、AC, CBによる長方形の2倍を有理（面積）によって超える。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
しかし、これは不可能である。
μέσα γὰρ ἀμφότερα, μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.
なぜなら、両方とも中項（面積）であり、中項は中項を有理（面積）によって超えないからである。
τῇ ἄρα ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.
したがって、ABに対して、全体と平方においてのみ通約可能である別の有理直線は適合しない。
μία ἄρα μόνη τῇ ἀποτομῇ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ·
それゆえ、アポトメーに対しては、全体と平方においてのみ通約可能である有理直線がただ1つだけ適合する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.80τῇ μέσης ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα.
第1の中項のアポトメーに対しては、全体と平方においてのみ通約可能であり、かつ全体とともに有理（の面積）を囲む中項直線がただ1つだけ適合する。
ἔστω γὰρ μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ·
なぜなら、第1の中項のアポトメーをABとし、ABに BCが適合するとせよ。
αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
それゆえ、AC, CBは中項線であり、平方においてのみ通約可能で、AC, CBによる有理の（長方形）を囲む。
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα.
私は言う、ABに対して、全体と平方においてのみ通約可能であり、かつ全体とともに有理（の面積）を囲む別の（中項）直線は適合しない。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω καὶ ἡ ΔΒ. αἱ ἄρα ΑΔ, ΔΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
なぜなら、もし可能なら、DBも適合するとせよ。 それゆえ、AD, DBは中項線であり、平方においてのみ通約可能で、AD, DBによる有理の（長方形）を囲む。 そして、AD, DB上の正方形の和が、AD, DBによる長方形の2倍を超えるその差によって、AC, CB 上の正方形の和もまた、AC, CBによる長方形の2倍を超える。
τῷ γὰρ αὐτῷ ὑπερέχουσι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
なぜなら、それらは同じものであるAB上の正方形によって超えるからである。
ἐναλλὰξ ἄρα, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
したがって、交互に、AD, DB上の正方形の和がAC, CB上の正方形の和を超えるその差によって、AD, DBによる長方形の2倍もまた、AC, CBによる長方形の2倍を超える。 ところで、AD, DBによる長方形の2倍は、 AC, CBによる長方形の2倍を有理（面積）によって超える。
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα.
なぜなら、両方とも有理だからである。
καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
したがって、AD, DB上の正方形の和もまた、AC, CB上の正方形の和を有理（面積）によって超える。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
しかし、これは不可能である。
μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα, μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.
なぜなら、両方とも中項（面積）であり、中項は中項を有理（面積）によって超えないからである。
τῇ ἄρα μέσης ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα·
それゆえ、第1の中項のアポトメーに対しては、全体と平方においてのみ通約可能であり、かつ全体とともに有理（の面積）を囲む中項直線がただ1つだけ適合する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。