§10.prop1.5τὰ σύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
可通约的量互有此比，即数对数的比。
ἔστω σύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β·
设 Α、Β 为可通约的量。
λέγω, ὅτι τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
我说，Α 对 Β 的比等于数对数的比。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
因为 Α、Β 是可通约的，必有某一量整除它们。
μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Γ. καὶ ὁσάκις τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Δ, ὁσάκις δὲ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε.
ἐπεὶ οὖν τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Δ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Δ μετρεῖ ἀριθμὸν καὶ τὸ Γ μέγεθος τὸ Α·
设它整除它们，并设它为 Γ。 Γ 整除 Α 的次数，设在 Δ 中有同样多的单位；Γ 整除 Β 的次数，设在 Ε 中有同样多的单位。 由于 Γ 按照 Δ 中的单位数整除 Α，且单位也按照 Δ 自身的单位数整除 Δ，所以，单位整除数 Δ 的次数与量 Γ 整除 Α 的次数相同。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ·
因此，正如 Γ 对 Α，单位也对 Δ。
ἀνάπαλιν ἄρα, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα.
所以反过来，正如 Α 对 Γ，Δ 也对单位。
πάλιν ἐπεὶ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Ε κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Ε μετρεῖ καὶ τὸ Γ τὸ Β·
再次，因为 Γ 按照 Ε 中的单位数整除 Β，且单位也按照 Ε 自身的单位数整除 Ε，所以，单位整除 Ε 的次数与 Γ 整除 Β 的次数相同。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα·
因此，正如 Γ 对 Β，单位也对 Ε。 又已证明，正如 Α 对 Γ，Δ 也对单位。
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε.
τὰ ἄρα σύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Ε·
因此由等比定理，正如 Α 对 Β，数 Δ 也对 Ε。 所以，可通约的量 Α、Β 互有此比，即数 Δ 对数 Ε 的比。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。
ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη.
如果两个量互有此比，即数对数的比，那么这些量将是可通约的。
δύο γὰρ μεγέθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω, ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Ε·
设两个量 Α、Β 互有此比，即数 Δ 对数 Ε 的比。
λέγω, ὅτι σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β μεγέθη.
我说，量 Α、Β 是可通约的。
ὅσαι γάρ εἰσιν ἐν τῷ Δ μονάδες, εἰς τοσαῦτα ἴσα διῃρήσθω τὸ Α, καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἴσον ἔστω τὸ Γ·
因为，Δ 中有多少个单位，就将 Α 分成多少个相等的部分，并设其中之一等于 Γ。
ὅσαι δέ εἰσιν ἐν τῷ Ε μονάδες, ἐκ τοσούτων μεγεθῶν ἴσων τῷ Γ συγκείσθω τὸ Ζ.
ἐπεὶ οὖν, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Δ μονάδες, τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Α μεγέθη ἴσα τῷ Γ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ μονὰς τοῦ Δ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τὸ Γ τοῦ Α·
而 Ε 中有多少个单位，就设 Ζ 由多少个等于 Γ 的量组成。 因为，Δ 中有多少个单位，Α 中也有多少个等于 Γ 的量。 所以，单位是 Δ 的几分之几，Γ 也是 Α 的几分之几。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ. μετρεῖ δὲ ἡ μονὰς τὸν Δ ἀριθμόν·
因此，正如 Γ 对 Α，单位也对 Δ。 但单位整除数 Δ，所以 Γ 也整除 Α。
μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Γ τὸ Α. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ, ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὴν μονάδα.
又因为正如 Γ 对 Α，单位也对 Δ，所以反过来，正如 Α 对 Γ，数 Δ 也对单位。
πάλιν ἐπεί, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες, τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Ζ ἴσα τῷ Γ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε.
再次，因为 Ε 中有多少个单位，Ζ 中也有多少个等于 Γ 的量，所以，正如 Γ 对 Ζ，单位也对 Ε。
ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα·
又已证明，正如 Α 对 Γ，Δ 也对单位。
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Ζ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ἐστὶ τὸ Α πρὸς τὸ Β·
因此由等比定理，正如 Α 对 Ζ，Δ 也对 Ε。 但正如 Δ 对 Ε，Α 也对 Β。
καὶ ὡς ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως καὶ πρὸς τὸ Ζ. τὸ Α ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν Β, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
所以正如 Α 对 Β，它也对 Ζ。 因此，Α 对 Β、Ζ 各自具有相同的比。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τῷ Ζ. μετρεῖ δὲ τὸ Γ τὸ Ζ·
所以 Β 等于 Ζ。 但 Γ 整除 Ζ，所以它也整除 Β。
μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Β. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Α·
但它确实也整除 Α。
τὸ Γ ἄρα τὰ Α, Β μετρεῖ.
因此 Γ 整除 Α、Β。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα, καὶ τὰ ἑξῆς.
所以 Α 与 Β 可通约。 因此，如果两个量对另一个量，以下类推。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοί, ὡς οἱ Δ, Ε, καὶ εὐθεῖα, ὡς ἡ Α, δύνατόν ἐστι ποιῆσαι ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτως τὴν εὐθεῖαν πρὸς εὐθεῖαν.
系由此显而易见，如果有两个数如 Δ、Ε，以及一条直段如 Α，则可以作一条直段对另一条直段，使其比等于数 Δ 对数 Ε。
ἐὰν δὲ καὶ τῶν Α, Ζ μέση ἀνάλογον ληφθῇ, ὡς ἡ Β, ἔσται ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, τουτέστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.
如果取 Α、Ζ 的比例中项如 Β，那么正如 Α 对 Ζ，Α 上的正方形也对 Β 上的正方形，也就是说，正如第一项对第三项，第一项上的图形也对在第二项上描画的相似且同样配置的图形。
ἀλλʼ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως ἐστὶν ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν·
但正如 Α 对 Ζ，数 Δ 也对数 Ε。
γέγονεν ἄρα καὶ ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α εὐθείας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β εὐθείας·
因此，数 Δ 对数 Ε 已经被制作成直段 Α 上的正方形对直段 Β 上的正方形的比。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。