§10.prop1.5τὰ σύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
通約可能な大きさは互いに、数に対する数と同じ比をもつ。
ἔστω σύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β·
通約可能な大きさを Α, Β とせよ。
λέγω, ὅτι τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
私は、Α は Β に対して、数に対する数と同じ比をもつと言う。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
なぜなら、Α, Β は通約可能であるので、ある大きさがそれらを測定するであろう。
μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Γ. καὶ ὁσάκις τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Δ, ὁσάκις δὲ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε.
ἐπεὶ οὖν τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Δ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Δ μετρεῖ ἀριθμὸν καὶ τὸ Γ μέγεθος τὸ Α·
それを測定させ、それを Γ とせよ。 そして、Γ が Α を測定する回数と同じだけの単位が Δ にあるとし、Γ が Β を測定する回数と同じだけの単位が Ε にあるとせよ。 そこで、Γ は Δ にある単位の数に応じて Α を測定し、かつ単位も Δ の中にある単位の数に応じて数 Δ を測定するので、したがって、単位が数 Δ を測定するのと、大きさ Γ が Α を測定するのとは、同じ回数である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ·
したがって、Γ の Α に対する比は、単位の Δ に対する比と同じである。
ἀνάπαλιν ἄρα, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα.
したがって反転させると、Α の Γ に対する比は、Δ の単位に対する比と同じである。
πάλιν ἐπεὶ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Ε κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Ε μετρεῖ καὶ τὸ Γ τὸ Β·
再び、Γ は Ε にある単位の数に応じて Β を測定し、単位もその中にある単位の数に応じて Ε を測定するので、したがって、単位が Ε を測定するのと、Γ が Β を測定するのとは、同じ回数である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα·
したがって、Γ の Β に対する比は、単位の Ε に対する比と同じである。 しかし、Α の Γ に対する比が、Δ の単位に対する比と同じであることも示された。
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε.
τὰ ἄρα σύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Ε·
したがって等比関係により、Α の Β に対する比は、数 Δ の Ε に対する比と同じである。 したがって、通約可能な大きさ Α, Β は互いに、数 Δ が数 Ε に対してもつ比をもつ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。
ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη.
もし二つの大きさが互いに、数が数に対してもつ比をもつならば、それらの大きさは通約可能であろう。
δύο γὰρ μεγέθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω, ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Ε·
なぜなら、二つの大きさ Α, Β が互いに、数 Δ が数 Ε に対してもつ比をもつとせよ。
λέγω, ὅτι σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β μεγέθη.
私は、大きさ Α, Β は通約可能であると言う。
ὅσαι γάρ εἰσιν ἐν τῷ Δ μονάδες, εἰς τοσαῦτα ἴσα διῃρήσθω τὸ Α, καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἴσον ἔστω τὸ Γ·
なぜなら、Δ の中にいくつの単位があるにせよ、Α はそれと同数の等しい部分に分割されたとし、それらのうちの一つに等しいものを Γ とせよ。
ὅσαι δέ εἰσιν ἐν τῷ Ε μονάδες, ἐκ τοσούτων μεγεθῶν ἴσων τῷ Γ συγκείσθω τὸ Ζ.
ἐπεὶ οὖν, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Δ μονάδες, τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Α μεγέθη ἴσα τῷ Γ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ μονὰς τοῦ Δ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τὸ Γ τοῦ Α·
また、Ε の中にいくつの単位があるにせよ、Ζ は Γ に等しいそれと同数の大きさから構成されるとせよ。 そこで、Δ の中にいくつの単位があるにせよ、Α の中にも Γ に等しい大きさがそれと同数あるので、したがって単位が Δ の部分であるのと、同じ部分に Γ は Α に対してなっている。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ. μετρεῖ δὲ ἡ μονὰς τὸν Δ ἀριθμόν·
したがって、Γ の Α に対する比は、単位の Δ に対する比と同じである。 ところで、単位は数 Δ を測定する。
μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Γ τὸ Α. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ, ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὴν μονάδα.
したがって Γ も Α を測定する。 そして、 Γ の Α に対する比は単位の Δ に対する比と同じであるので、したがって反転させると、Α の Γ に対する比は、数 Δ の単位に対する比と同じである。
πάλιν ἐπεί, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες, τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Ζ ἴσα τῷ Γ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε.
再び、Ε の中にいくつの単位があるにせよ、Ζ の中にも Γ に等しいものがそれと同数あるので、したがって、Γ の Ζ に対する比は、単位の Ε に対する比と同じである。
ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα·
また、Α の Γ に対する比は、Δ の単位に対する比と同じであることも示された。
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Ζ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ἐστὶ τὸ Α πρὸς τὸ Β·
したがって等比関係により、Α の Ζ に対する比は、Δ の Ε に対する比と同じである。 しかし、Δ の Ε に対する比は、Α の Β に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως καὶ πρὸς τὸ Ζ. τὸ Α ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν Β, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
したがって、Α の Β に対する比は、Ζ に対する比とも同じである。 したがって、Α は Β, Ζ のそれぞれに対して同じ比をもつ。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τῷ Ζ. μετρεῖ δὲ τὸ Γ τὸ Ζ·
したがって Β は Ζ と等しい。 ところで Γ は Ζ を測定する。
μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Β. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Α·
したがってそれは Β も測定する。 しかし確かに Α も測定する。
τὸ Γ ἄρα τὰ Α, Β μετρεῖ.
したがって Γ は Α, Β を測定する。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα, καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって Α は Β と通約可能である。 したがって、もし二つの大きさが互いに、以下同様。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοί, ὡς οἱ Δ, Ε, καὶ εὐθεῖα, ὡς ἡ Α, δύνατόν ἐστι ποιῆσαι ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτως τὴν εὐθεῖαν πρὸς εὐθεῖαν.
系このことから、もし Δ, Ε のような二つの数と、Α のような線分があるならば、数 Δ の数 Ε に対する比と同じ比を、この線分に対して別の線分がもつように作ることが可能であることは明らかである。
ἐὰν δὲ καὶ τῶν Α, Ζ μέση ἀνάλογον ληφθῇ, ὡς ἡ Β, ἔσται ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, τουτέστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.
また、もし Α, Ζ の比例中項として Β のような線分が取られるならば、Α の Ζ に対する比は、Α 上の正方形の Β 上の正方形に対する比と同じであり、すなわち、第1の線分の第3の線分に対する比は、第1の線分上の図形の、第2の線分上の相似かつ同様に描かれた図形に対する比と同じである。
ἀλλʼ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως ἐστὶν ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν·
しかし、Α の Ζ に対する比は、数 Δ の数 Ε に対する比と同じである。
γέγονεν ἄρα καὶ ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α εὐθείας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β εὐθείας·
したがって、数 Δ の数 Ε に対する比と同じ比が、線分 Α 上の正方形の、線分 Β 上の正方形に対する比としても作られた。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。