§10.prop1.4τριῶν μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
给定三个可通约的量，求它们的最大公度。
ἔστω τὰ δοθέντα τρία μεγέθη σύμμετρα τὰ Α, Β, Γ·
设给定的三个可通约的量为 Α、Β、Γ。
δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
我们需要求 Α、Β、Γ 的最大公度。
εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, καὶ ἔστω τὸ Δ·
设取 Α、Β 两量中的最大公度，并设它为 Δ。
τὸ δὴ Δ τὸ Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὔ.
那么 Δ 要么整除 Γ，要么不整除。
μετρείτω πρότερον.
首先设它整除。
ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὸ Γ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ τὰ Α, Β, τὸ Δ ἄρα τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ·
因为 Δ 整除 Γ，且它也整除 Α、Β，所以 Δ 整除 Α、Β、Γ。
τὸ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
因此 Δ 是 Α、Β、Γ 的公度。
καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον·
并且显而易见，它也是最大的。
μεῖζον γὰρ τοῦ Δ μεγέθους τὰ Α, Β οὐ μετρεῖ.
因为大于量 Δ 的量是不会整除 Α、Β 的。
μὴ μετρείτω δὴ τὸ Δ τὸ Γ. λέγω πρῶτον, ὅτι σύμμετρά ἐστι τὰ Γ, Δ. ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β, Γ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος, ὃ δηλαδὴ καὶ τὰ Α, Β μετρήσει·
设 Δ 不整除 Γ。 我首先说，Γ、Δ 是可通约的。 因为 Α、Β、Γ 是可通约的，必有某一个量整除它们，这显然也将整除 Α、Β。
ὥστε καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸ Δ μετρήσει.
所以，它也将整除 Α、Β 的最大公度 Δ。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ·
但它也整除 Γ。
ὥστε τὸ εἰρημένον μέγεθος μετρήσει τὰ Γ, Δ·
所以上述量将整除 Γ、Δ。
σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ Γ, Δ. εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, καὶ ἔστω τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ Δ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ Δ τὰ Α, Β μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β μετρήσει.
因此 Γ、Δ 是可通约的。 设取它们的最大公度，并设它为 Ε。 因为 Ε 整除 Δ，而 Δ 整除 Α、Β，所以 Ε 也将整除 Α、Β。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ. τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ·
但它也整除 Γ。 因此 Ε 整除 Α、Β、Γ。
τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινόν ἐστι μέτρον.
所以 Ε 是 Α、Β、Γ 的公度。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
我说，它也是最大的。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τι τοῦ Ε μεῖζον μέγεθος τὸ Ζ, καὶ μετρείτω τὰ Α, Β, Γ. καὶ ἐπεὶ τὸ Ζ τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τὰ Α, Β ἄρα μετρήσει καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.
因为，如果可能的话，设有一个大于 Ε 的量 Ζ 整除 Α、Β、Γ。 由于 Ζ 整除 Α、Β、Γ，所以它也将整除 Α、Β，并且也将整除 Α、Β 的最大公度。
τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶ τὸ Δ·
而 Α、Β 的最大公度是 Δ。
τὸ Ζ ἄρα τὸ Δ μετρεῖ.
因此 Ζ 整除 Δ。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ·
但它也整除 Γ。
τὸ Ζ ἄρα τὰ Γ, Δ μετρεῖ·
所以 Ζ 整除 Γ、Δ。
καὶ τὸ τῶν Γ, Δ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει τὸ Ζ. ἔστι δὲ τὸ ε·
因此，它也将整除 Γ、Δ 的最大公度。 而它是 Ε。
τὸ Ζ ἄρα τὸ Ε μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον·
所以 Ζ 将整除 Ε，即较大者整除较小者。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
这是不可能的。
οὐκ ἄρα μεῖζόν τι τοῦ Ε μεγέθους τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ·
因此，没有任何大于量 Ε 的量整除 Α、Β、Γ。
τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν, ἐὰν μὴ μετρῇ τὸ Δ τὸ Γ, ἐὰν δὲ μετρῇ, αὐτὸ τὸ Δ.
τριῶν ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὕρηται.
所以，如果 Δ 不整除 Γ，则 Ε 是 Α、Β、Γ 的最大公度；如果整除，则 Δ 自身是。 因此，给定的三个可通约的量之最大公度已被求得。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν μέγεθος τρία μεγέθη μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει.
系由此显而易见，如果一个量整除三个量，它也将整除它们的最大公度。
ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πλειόνων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ληφθήσεται, καὶ τὸ πόρισμα προχωρήσει.
类似地，对于更多的量，也将以同样的方式求得最大公度，且此系仍然成立。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。