§10.prop1.5τὰ σύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
통약가능한 크기들은 서로에 대하여, 수가 수에 대하여 가지는 비를 가진다.
ἔστω σύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β·
Α, Β를 통약가능한 크기들이라 하자.
λέγω, ὅτι τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
나는 Α가 Β에 대하여, 수가 수에 대하여 가지는 비를 가진다고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
왜냐하면 Α, Β가 통약가능하므로, 어떤 크기가 그것들을 측정할 것이다.
μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Γ. καὶ ὁσάκις τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Δ, ὁσάκις δὲ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε.
ἐπεὶ οὖν τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Δ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Δ μετρεῖ ἀριθμὸν καὶ τὸ Γ μέγεθος τὸ Α·
그것이 측정한다고 하고 그것을 Γ라 하자. 그리고 Γ가 Α를 측정하는 횟수만큼 Δ에 그만큼의 단위들이 있게 하고, Γ가 Β를 측정하는 횟수만큼 Ε에 그만큼의 단위들이 있게 하자. 그렇다면 Γ가 Δ 안의 단위들에 따라 Α를 측정하고, 단위 역시 Δ 안의 단위들에 따라 수 Δ를 측정하므로, 따라서 단위가 수 Δ를 측정하는 것과 크기 Γ가 Α를 측정하는 것은 같은 횟수이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ·
그러므로 Γ의 Α에 대한 비는 단위의 Δ에 대한 비와 같다.
ἀνάπαλιν ἄρα, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα.
그러므로 반대로 하면, Α의 Γ에 대한 비는 Δ의 단위에 대한 비와 같다.
πάλιν ἐπεὶ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Ε κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Ε μετρεῖ καὶ τὸ Γ τὸ Β·
다시, Γ가 Ε 안의 단위들에 따라 Β를 측정하고, 단위 역시 Ε 안의 단위들에 따라 수 Ε를 측정하므로, 따라서 단위가 수 Ε를 측정하는 것과 Γ가 Β를 측정하는 것은 같은 횟수이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα·
그러므로 Γ의 Β에 대한 비는 단위의 Ε에 대한 비와 같다. 그런데 Α의 Γ에 대한 비는 Δ의 단위에 대한 비와 같음도 증명되었다.
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε.
τὰ ἄρα σύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Ε·
그러므로 동등한 비율에 의해(ex aequali), Α의 Β에 대한 비는 수 Δ의 Ε에 대한 비와 같다. 그러므로 통약가능한 크기들 Α, Β는 서로에 대하여, 수 Δ가 수 Ε에 대하여 가지는 비를 가진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη.
만약 두 크기가 서로에 대하여, 수가 수에 대하여 가지는 비를 가진다면, 그 크기들은 통약가능할 것이다.
δύο γὰρ μεγέθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω, ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Ε·
두 크기 Α, Β가 서로에 대하여, 수 Δ가 수 Ε에 대하여 가지는 비를 가진다고 하자.
λέγω, ὅτι σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β μεγέθη.
나는 크기 Α, Β가 통약 가능하다고 말한다.
ὅσαι γάρ εἰσιν ἐν τῷ Δ μονάδες, εἰς τοσαῦτα ἴσα διῃρήσθω τὸ Α, καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἴσον ἔστω τὸ Γ·
왜냐하면 Δ 안에 단위가 몇 개 있든, Α를 그와 같은 수의 똑같은 부분들로 분할하고 그 중 하나와 같은 것을 Γ라 하자.
ὅσαι δέ εἰσιν ἐν τῷ Ε μονάδες, ἐκ τοσούτων μεγεθῶν ἴσων τῷ Γ συγκείσθω τὸ Ζ.
ἐπεὶ οὖν, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Δ μονάδες, τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Α μεγέθη ἴσα τῷ Γ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ μονὰς τοῦ Δ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τὸ Γ τοῦ Α·
그리고 Ε 안에 단위가 몇 개 있든, 그 수만큼의 Γ와 같은 크기들로 Ζ가 구성되도록 하자. 그렇다면 Δ 안에 단위가 몇 개 있든, Α 안에도 Γ와 같은 크기가 그만큼 있으므로, 단위가 Δ의 몇 분의 일인 것과 똑같이 Γ도 Α의 그만큼의 부분이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ. μετρεῖ δὲ ἡ μονὰς τὸν Δ ἀριθμόν·
그러므로 Γ의 Α에 대한 비는 단위의 Δ에 대한 비와 같다. 그런데 단위는 수 Δ를 측정한다.
μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Γ τὸ Α. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ, ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὴν μονάδα.
그러므로 Γ도 Α를 측정한다. 그리고 Γ의 Α에 대한 비는 단위의 Δ에 대한 비와 같으므로, 반대로 하면 Α의 Γ에 대한 비는 수 Δ의 단위에 대한 비와 같다.
πάλιν ἐπεί, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες, τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Ζ ἴσα τῷ Γ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε.
다시, Ε 안에 단위가 몇 개 있든, Ζ 안에도 Γ와 같은 것이 그만큼 있으므로, Γ의 Ζ에 대한 비는 단위의 Ε에 대한 비와 같다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα·
그런데 Α의 Γ에 대한 비는 Δ의 단위에 대한 비와 같음도 증명되었다.
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Ζ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ἐστὶ τὸ Α πρὸς τὸ Β·
그러므로 동등한 비율에 의해, Α의 Ζ에 대한 비는 Δ의 Ε에 대한 비와 같다. 그런데 Δ의 Ε에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως καὶ πρὸς τὸ Ζ. τὸ Α ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν Β, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Ζ에 대한 비와도 같다. 그러므로 Α는 Β, Ζ 각각에 대하여 같은 비를 가진다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τῷ Ζ. μετρεῖ δὲ τὸ Γ τὸ Ζ·
그러므로 Β는 Ζ와 같다. 그런데 Γ는 Ζ를 측정한다.
μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Β. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Α·
그러므로 그것은 Β도 측정한다. 그런데 확실히 Α도 측정한다.
τὸ Γ ἄρα τὰ Α, Β μετρεῖ.
그러므로 Γ는 Α, Β를 측정한다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 Α는 Β와 통약가능하다. 그러므로 만약 두 크기가 서로에 대하여, 이하 동일.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοί, ὡς οἱ Δ, Ε, καὶ εὐθεῖα, ὡς ἡ Α, δύνατόν ἐστι ποιῆσαι ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτως τὴν εὐθεῖαν πρὸς εὐθεῖαν.
따름정리 이로부터, 만약 Δ, Ε와 같은 두 수와, Α와 같은 직선(선분)이 있다면, 수 Δ의 수 Ε에 대한 비와 같게, 그 직선에 대하여 다른 직선의 비를 만드는 것이 가능하다는 점이 명백하다.
ἐὰν δὲ καὶ τῶν Α, Ζ μέση ἀνάλογον ληφθῇ, ὡς ἡ Β, ἔσται ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, τουτέστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.
그리고 만약 Α, Ζ의 비례중항으로서 Β와 같은 것이 취해진다면, Α의 Ζ에 대한 비는 Α 상의 정사각형의 Β 상의 정사각형에 대한 비와 같을 것인데, 즉 첫 번째 것의 세 번째 것에 대한 비는 첫 번째 것 상의 도형의, 두 번째 것 상에 그려지는 닮았고 마찬가지로 기술된 도형에 대한 비와 같다.
ἀλλʼ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως ἐστὶν ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν·
그런데 Α의 Ζ에 대한 비는 수 Δ의 수 Ε에 대한 비와 같다.
γέγονεν ἄρα καὶ ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α εὐθείας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β εὐθείας·
그러므로 수 Δ의 수 Ε에 대한 비와 같게, 직선 Α 상의 정사각형의 직선 Β 상의 정사각형에 대한 비도 만들어졌다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.