§10.prop1.33εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
求两条在平方上不共测的线，使得它们上的正方形之和为有理的，而由它们包围的矩形为中项的。
Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ τῷ ἀφʼ ὁποτέρας τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ ἤχθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ.
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας αὐτῆς, ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβέβληται παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ποιεῖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ· αἱ ΑΖ, ΖΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
设已给两条仅在平方上共测的有理线 AB、BC，使得较大线 AB 比较小线 BC 上的正方形大，其差等于在长度上与 AB 不共测的线上的正方形。 并设 BC 在 D 点被平分。 并设在 AB 上应用一个等于 BD、DC 中任一一条线上的正方形的平行四边形，其形状缺一个正方形，且设它为由 AE、EB 包围的矩形。 并在 AB 上描半圆 AZB，并引 EZ 垂直于 AB，并连接 AZ、ZB。 又因为 AB、BC 是不等线，且 AB 上的正方形比 BC 上的正方形大，其差等于与 AB 不共测的线上的正方形，而等于 BC 上的正方形的四分之一，即等于其一半线上的正方形的平行四边形，其形状缺一个正方形，已应用到 AB 上，且它组成了由 AE、EB 包围的矩形，因此 AE 与 EB 在长度上不共测。 且由于 AE 与 EB 的比，等于由 BA、AE 包围的矩形与由 AB、BE 包围的矩形的比，而由 BA、AE 包围的矩形等于在 AZ 上的正方形，由 AB、BE 包围的矩形等于在 BZ 上的正方形，因此在 AZ 上的正方形与在 ZB 上的正方形不共测；所以 AZ、ZB 在平方上不共测。
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ῥητή ἐστιν, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ῥητόν ἐστιν.
又因为 AB 是有理的，所以在 AB 上的正方形也是有理的；从而在 AZ、ZB 上的正方形之和也是有理的。
καὶ ἐπεὶ πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ὑπόκειται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἴσον, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῇ ΒΔ· διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΖΕ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
又由于，由 AE、EB 包围的矩形等于在 EZ 上的正方形，而由设，由 AE、EB 包围的矩形也等于在 BD 上的正方形，因此 ZE 等于 BD；所以 BC 是 ZE 的两倍；从而由 AB、BC 包围的矩形也与由 AB、EZ 包围的矩形共测。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ῥητὸν τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων.
而由 AB、BC 包围的矩形是中项的；因此由 AB、EZ 包围的矩形也是中项的。 而由 AB、EZ 包围的矩形等于由 AZ、ZB 包围的矩形；因此由 AZ、ZB 包围的矩形也是中项的。 而且它们上的正方形之和也已被证明是有理的。
Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΖ, ΖΒ ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπʼ αὐτῶν μέσον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，已求得两条在平方上不共测的线 AZ、ZB，使得它们上的正方形之和是有理的，而由它们包围的矩形是中项的；这正是所要证明的。
§10.prop1.34εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
求两条在平方上不共测的线，使得它们上的正方形之和为中项的，而由它们包围的矩形为有理的。
Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπʼ αὐτῶν, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τὸ ΑΔΒ ἡμικύκλιον, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἴσον παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ· ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει.
设已给两条仅在平方上共测且包围一个有理面积的中项线 AB、BC，使得 AB 上的正方形比 BC 上的正方形大，其差等于在长度上与 AB 不共测的线上的正方形。 并在 AB 上描半圆 ADB，且 BC 在 E 被平分。 并设在 AB 上应用一个等于在 BE 上的正方形的平行四边形，其形状缺一个正方形，且设它为由 AZ、ZB 包围的矩形；因此 AZ 与 ZB 在长度上不共测。
καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ.
ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ τῆς ΔΖ, διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν ἐστιν.
并引 ZD 从 Z 垂直于 AB，并连接 AD、DB。 由于 AZ 与 ZB 不共测，因此由 BA、AZ 包围的矩形也与由 AB、BZ 包围的矩形不共测。 而由 BA、AZ 包围的矩形等于在 AD 上的正方形，由 AB、BZ 包围的矩形等于在 DB 上的正方形；因此在 AD 上的正方形也与在 DB 上的正方形不共测。 又由于在 AB 上的正方形是中项的，因此在 AD、DB 上的正方形之和也是中项的。 又由于 BC 是 DZ 的两倍，从而由 AB、BC 包围的矩形也是由 AB、ZD 包围的矩形的两倍。 而由 AB、BC 包围的矩形是有理的；因此由 AB、ZD 包围的矩形也是有理的。 而由 AB、ZD 包围的矩形等于由 AD、DB 包围的矩形；所以由 AD、DB 包围的矩形也是有理的。
Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΔ, ΔΒ ποιοῦσαι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，已求得两条在平方上不共测的线 AD、DB，使得它们上的正方形之和是中项的，而由它们包围的矩形是有理的；这正是所要证明的。