§10.prop1.33εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
平方において通約不可能な２つの直線を見出すこと。 それらの上の正方形の和が有理であり、それらによって囲まれる矩形が中項であるように。
Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ τῷ ἀφʼ ὁποτέρας τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ ἤχθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ.
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας αὐτῆς, ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβέβληται παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ποιεῖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ·
平方においてのみ通約可能な２つの有理直線 ΑΒ, ΒΓ が設定されるものとせよ。 ただし、大きい方の ΑΒ が小さい方の ΒΓ よりも、自身と通約不可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるように。 そして ΒΓ が Δ において二等分されるものとせよ。 そして、ΒΔ, ΔΓ のいずれか一方の上の正方形に等しい平行四辺形が、正方形の形で欠けているものとして ΑΒ に沿って適用されるものとせよ。 そして、それを ΑΕ, ΕΒ によって囲まれる矩形とせよ。 そして ΑΒ の上に半円 ΑΖΒ が描かれるものとし、ΑΒ に対して直角に ΕΖ が引かれるものとせよ。 引かれたら ΑΖ, ΖΒ が結ばれるものとせよ。 そして、ΑΒ, ΒΓ は不等な直線であり、かつ ΑΒ は ΒΓ よりも自身と通約不可能な直線の上の正方形分だけより大きく二乗でき、かつ ΒΓ の上の正方形の４分の１、すなわちその半分［の直線］の上の正方形に等しい平行四辺形が、正方形の形で欠けているものとして ΑΒ に沿って適用されており、それが ΑΕ, ΕΒ によって囲まれる矩形をつくっているから、したがって ΑΕ は ΕΒ と長さにおいて通約不可能である。 そして、ΑΕ と ΕΒ の比は、ΒΑ, ΑΕ によって囲まれる矩形と ΑΒ, ΒΕ によって囲まれる矩形の比と同じであり、かつ、ΒΑ, ΑΕ によって囲まれる矩形は ΑΖ の上の正方形に等しく、ΑΒ, ΒΕ によって囲まれる矩形は ΒΖ の上の正方形に等しいから、したがって ΑΖ の上の正方形は ΖΒ の上の正方形と通約不可能である。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ· αἱ ΑΖ, ΖΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
したがって ΑΖ, ΖΒ は平方において通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ῥητή ἐστιν, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
そして ΑΒ は有理であるから、ΑΒ の上の正方形もまた有理である。
ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ῥητόν ἐστιν.
したがって、ΑΖ, ΖΒ の上の正方形の和もまた有理である。
καὶ ἐπεὶ πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ὑπόκειται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἴσον, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῇ ΒΔ·
そして、ふたたび ΑΕ, ΕΒ によって囲まれる矩形は ΕΖ の上の正方形に等しく、また設定により ΑΕ, ΕΒ によって囲まれる矩形は ΒΔ の上の正方形にも等しいから、したがって ΖΕ は ΒΔ に等しい。
διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΖΕ·
したがって ΒΓ は ΖΕ の２倍である。
ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
それゆえ、ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形もまた、ΑΒ, ΕΖ によって囲まれる矩形と通約可能である。 ところで ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形は中項である。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ·
したがって ΑΒ, ΕΖ によって囲まれる矩形も中項である。 そして ΑΒ, ΕΖ によって囲まれる矩形は ΑΖ, ΖΒ によって囲まれる矩形に等しい。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ῥητὸν τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων.
したがって ΑΖ, ΖΒ によって囲まれる矩形も中項である。 そして、それらの上の正方形の和が有理であることもまた示された。
Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΖ, ΖΒ ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπʼ αὐτῶν μέσον·
したがって、平方において通約不可能な２つの直線 ΑΖ, ΖΒ が見出された。 それらの上の正方形の和が有理であり、それらによって囲まれる矩形が中項であるように。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.34εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
平方において通約不可能な２つの直線を見出すこと。 それらの上の正方形の和が中項であり、それらによって囲まれる矩形が有理であるように。
Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπʼ αὐτῶν, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τὸ ΑΔΒ ἡμικύκλιον, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἴσον παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ·
平方においてのみ通約可能であり、かつそれらによって囲まれる矩形が有理である２つの中項直線 ΑΒ, ΒΓ が設定されるものとせよ。 ただし、ΑΒ が ΒΓ よりも、自身と通約不可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるように。 そして ΑΒ の上に半円 ΑΔΒ が描かれるものとし、ΒΓ が Ε において二等分されるものとせよ。 そして ΑΒ に沿って、ΒΕ の上の正方形に等しい平行四辺形が、正方形の形で欠けているものとして適用されるものとし、それを ΑΖ, ΖΒ によって囲まれる矩形とせよ。
ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει.
したがって ΑΖ は ΖΒ と長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ.
ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ·
そして Ζ から ΑΒ に対して直角に ΖΔ が引かれるものとし、ΑΔ, ΔΒ が結ばれるものとせよ。 ΑΖ が ΖΒ と通約不可能であるから、したがって ΒΑ, ΑΖ によって囲まれる矩形もまた、ΑΒ, ΒΖ によって囲まれる矩形と通約不可能である。 ところで、ΒΑ, ΑΖ によって囲まれる矩形は ΑΔ の上の正方形に等しく、ΑΒ, ΒΖ によって囲まれる矩形は ΔΒ の上の正方形に等しい。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ τῆς ΔΖ, διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
したがって、ΑΔ の上の正方形もまた、ΔΒ の上の正方形と通約不可能である。 そして、ΑΒ の上の正方形は中項であるから、したがって ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和もまた中項である。 そして、ΒΓ は ΔΖ の２倍であるから、したがって ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形もまた、ΑΒ, ΖΔ によって囲まれる矩形の２倍である。 ところで ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形は有理である。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
したがって ΑΒ, ΖΔ によって囲まれる矩形もまた有理である。 そして ΑΒ, ΖΔ によって囲まれる矩形は ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形に等しい。
ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν ἐστιν.
したがって ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形もまた有理である。
Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΔ, ΔΒ ποιοῦσαι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν·
したがって、平方において通約不可能な２つの直線 ΑΔ, ΔΒ が見出された。 それらの上の正方形の和が中項であり、それらによって囲まれる矩形が有理であるように。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。