§10.prop1.32εὑρεῖν δύο μέσας δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
求两条仅在平方上共测且包围一个中项面积的中项线，使得较大线上的正方形比较小线上的正方形大，其差等于与较大线在长度上共测的线上的正方形。
Ἐκκείσθωσαν τρεῖς ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ α, Β, Γ, ὥστε τὴν Α τῆς Γ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Δ. μέσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Δ·
设已给三条仅在平方上共测的有理线 A、B、C，使得较大的 A 上的正方形较 C 上的正方形大，其差等于与 A 在长度上共测的线上的正方形。
καὶ ἡ Δ ἄρα μέση ἐστίν.
并设在 D 上的正方形等于由 A、B 所包围的矩形；因此在 D 上的正方形是中项的，所以 D 也是中项线。
τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε·
并设由 D、E 所包围的矩形等于由 B、C 所包围的矩形。 又因为，由 A、B 所包围的矩形与由 B、C 所包围的矩形的比，等于 A 与 C 的比，但在 A、B 包围的矩形等于在 D 上的正方形，且在 B、C 包围的矩形等于由 D、E 包围的矩形，因此，A 与 C 的比等于在 D 上的正方形与由 D、E 包围的矩形的比。 而在 D 上的正方形与由 D、E 包围的矩形的比，等于 D 与 E 的比；因此，A 与 C 的比也等于 D 与 E 的比。
καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε· σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Γ δυνάμει. σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Δ τῇ Ε δυνάμει μόνον.
而 A 与 C 仅在平方上共测；因此 D 与 E 也仅在平方上共测。
μέση δὲ ἡ Δ· μέση ἄρα καὶ ἡ Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἡ δὲ Α τῆς Γ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Δ ἄρα τῆς Ε μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
而且 D 是中项线；因此 E 也是中项线。 又因为，A 与 C 的比等于 D 与 E 的比，且 A 上的正方形比 C 上的正方形大，其差等于与 A 共测的线上的正方形，所以 D 上的正方形也比 E 上的正方形大，其差等于与 D 共测的线上的正方形。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ, μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.
Εὕρηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Δ, Ε μέσον περιέχουσαι, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
接下来我主张，由 D、E 包围的矩形也是中项的。 因为，由 B、C 包围的矩形等于由 D、E 包围的矩形，且由 B、C 包围的矩形是中项的，因此由 D、E 包围的矩形也是中项的。 因此，已求得两条仅在平方上共测且包围一个中项面积的中项线 D、E，使得较大线上的正方形比较小线上的正方形大，其差等于在长度上与较大线共测的线上的正方形。
ὁμοίως δὴ πάλιν δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, ὅταν ἡ Α τῆς Γ μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
而当 A 上的正方形比 C 上的正方形大，其差等于与 A 不共测的线上的正方形时，同样可以再次证明其差等于不共测线上的正方形。
λῆμμα
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν α, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ.
καὶ πρῶτον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ.
ἐπεὶ γὰρ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ ἄρα τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις.
补题设有一个以 A 为直角的直角三角形 ABG，并引垂线 AD；我主张，由 GB、BD 包围的矩形等于在 BA 上的正方形，由 BG、GD 包围的矩形等于在 GA 上的正方形，由 BD、DG 包围的矩形等于在 AD 上的正方形，且由 BG、AD 包围的矩形等于由 BA、AG 包围的矩形。 首先，由 GB、BD 包围的矩形等于在 BA 上的正方形。 因为在直角三角形中，已从直角向底边引垂线 AD，因此三角形 ABD、ADG 相似于整个 ABG 且彼此相似。
καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ.
καὶ ἐπεί, ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΑ.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἔφαμεν, ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
又因为三角形 ABG 相似于三角形 ABD，因此，GB 与 BA 的比，等于 BA 与 BD 的比；因此由 GB、BD 包围的矩形等于在 AB 上的正方形。 同理，由 BG、GD 包围的矩形也等于在 AC 上的正方形。 又因为，如果在直角三角形中从直角向底边引垂线，所引垂线是底边分段的比例中项，因此， BD 与 DA 的比，等于 AD 与 DG 的比；因此由 BD、DG 包围的矩形等于在 DA 上的正方形。 我主张，由 BG、AD 包围的矩形也等于由 BA、AC 包围的矩形。 因为，如前所述，ABG 相似于 ABD，因此，BG 与 GA 的比，等于 BA 与 AD 的比。 因此由 BG、AD 包围的矩形等于由 BA、AC 包围的矩形；这就是所要证明的。