§10.prop1.33εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
제곱에서 통약할 수 없는 두 직선을 구하는 것. 그것들 위의 정사각형들의 합은 유리적이고, 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형은 미디얼이 되도록 해야 한다。
Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ τῷ ἀφʼ ὁποτέρας τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ ἤχθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ.
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας αὐτῆς, ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβέβληται παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ποιεῖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ·
제곱에서만 통약할 수 있는 두 유리직선 AB, BC가 주어져 있다고 하자. 단, 더 큰 AB가 더 작은 BC보다 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있도록 한 것이다. 그리고 BC가 D에서 이등분되도록 하자. 그리고 BD, DC 중 어느 한쪽 위의 정사각형과 같은 평행사변형이, 정사각형 모양으로 부족하게 AB를 따라 적용되도록 하자. 그리고 그것이 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형이라고 하자. 그리고 AB 위에 반원 AZB가 그려지도록 하고, AB에 수직으로 EZ가 그어지도록 하자. 그리고 AZ, ZB가 연결되도록 하자. 그리고 AB, BC는 서로 같지 않은 직선이고, AB 위의 정사각형은 BC 위의 정사각형보다 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 크며, BC 위의 정사각형의 4분의 1, 즉 그것의 절반 위의 정사각형과 같은 평행사변형이, 정사각형 모양으로 부족하게 AB를 따라 적용되어 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형을 만들므로, 따라서 AE는 EB와 길이에서 통약할 수 없다. 그리고 AE와 EB의 비는 BA, AE에 의해 둘러싸인 직사각형과 AB, BE에 의해 둘러싸인 직사각형의 비와 같고, BA, AE에 의해 둘러싸인 직사각형은 AZ 위의 정사각형과 같으며, AB, BE에 의해 둘러싸인 직사각형은 BZ 위의 정사각형과 같으므로, 따라서 AZ 위의 정사각형은 ZB 위의 정사각형과 통약할 수 없다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ· αἱ ΑΖ, ΖΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
그러므로 AZ, ZB는 제곱에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ῥητή ἐστιν, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
그리고 AB는 유리적이므로, AB 위의 정사각형 역시 유리적이다.
ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ῥητόν ἐστιν.
따라서 AZ, ZB 위의 정사각형들의 합 역시 유리적이다.
καὶ ἐπεὶ πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ὑπόκειται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἴσον, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῇ ΒΔ·
그리고 다시 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형은 EZ 위의 정사각형과 같고, 가정에 의해 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형은 BD 위의 정사각형과도 같으므로, 따라서 ZE는 BD와 같다.
διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΖΕ·
그러므로 BC는 ZE의 두 배이다.
ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
따라서 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 AB, EZ에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 있다. 그런데 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 미디얼이다.
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ·
그러므로 AB, EZ에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 미디얼이다. 그런데 AB, EZ에 의해 둘러싸인 직사각형은 AZ, ZB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다.
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ῥητὸν τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων.
그러므로 AZ, ZB에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 미디얼이다. 그리고 그것들 위의 정사각형들의 합 역시 유리적임이 증명되었다.
Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΖ, ΖΒ ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπʼ αὐτῶν μέσον·
그러므로 제곱에서 통약할 수 없는 두 직선 AZ, ZB가 구해졌다. 그것들 위의 정사각형들의 합은 유리적이고, 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형은 미디얼이 되도록 하는 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.34εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
제곱에서 통약할 수 없는 두 직선을 구하는 것. 그것들 위의 정사각형들의 합은 미디얼이고, 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형은 유리적이 되도록 해야 한다.
Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπʼ αὐτῶν, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τὸ ΑΔΒ ἡμικύκλιον, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἴσον παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ·
제곱에서만 통약할 수 있고 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형이 유리적인 두 미디얼 직선 AB, BC가 주어져 있다고 하자. 단, AB가 BC보다 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있도록 한 것이다. 그리고 AB 위에 반원 ADB가 그려지도록 하고, BC가 E에서 이등분되도록 하자. 그리고 AB를 따라 BE 위의 정사각형과 같은 평행사변형이, 정사각형 모양으로 부족하게 적용되도록 하고, 그것이 AZ, ZB에 의해 둘러싸인 직사각형이 되도록 하자.
ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει.
그러므로 AZ는 ZB와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ.
ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ·
그리고 Z로부터 AB에 수직으로 ZD가 그어지도록 하고, AD, DB가 연결되도록 하자. AZ가 ZB와 통약할 수 없으므로, 따라서 BA, AZ에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 AB, BZ에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다. 그런데 BA, AZ에 의해 둘러싸인 직사각형은 AD 위의 정사각형과 같고, AB, BZ에 의해 둘러싸인 직사각형은 DB 위의 정사각형과 같다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ τῆς ΔΖ, διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
그러므로 AD 위의 정사각형 역시 DB 위의 정사각형과 통약할 수 없다. 그리고 AB 위의 정사각형은 미디얼이므로, 따라서 AD, DB 위의 정사각형들의 합 역시 미디얼이다. 그리고 BC는 DZ의 두 배이므로, 따라서 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 AB, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배이다. 그런데 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
그러므로 AB, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 유리적이다. 그런데 AB, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형은 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다.
ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν ἐστιν.
따라서 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 유리적이다.
Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΔ, ΔΒ ποιοῦσαι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν·
그러므로 제곱에서 통약할 수 없는 두 직선 AD, DB가 구해졌다. 그것들 위의 정사각형들의 합은 미디얼이고, 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형은 유리적이 되도록 하는 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.