§10.prop1.35εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνῳ.
求两条在平方上不共测的线，使得它们上的正方形之和为中项的，而由它们包围的矩形也为中项的，并且还与它们上的正方形之和不共测。
Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσον περιέχουσαι, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ τὰ λοιπὰ γεγονέτω τοῖς ἐπάνω ὁμοίως.
设已给两条仅在平方上共测且包围一个中项面积的中项线 AB、BC，使得 AB 上的正方形比 BC 上的正方形大，其差等于在长度上与 AB 不共测的线上的正方形。 并在 AB 上描半圆 ADB，且其余的按与上述相同的方式作图。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει, ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ δυνάμει.
又由于 AZ 与 ZB 在长度上不共测，因此 AD 与 DB 在平方上也不共测。
καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀφʼ ἑκατέρας τῶν ΒΕ, ΔΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΔΖ· διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΖΔ·
又由于在 AB 上的正方形是中项的，因此在 AD、 DB 上的正方形之和也是中项的。 又由于由 AZ、ZB 包围的矩形等于 BE、DZ 各自上的正方形，因此 BE 等于 DZ；所以 BC 是 ZD 的两倍；从而由 AB、BC 包围的矩形也是由 AB、ZD 包围的矩形的两倍。
ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
而由 AB、BC 包围的矩形是中项的；因此由 AB、ZD 包围的矩形也是中项的。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
而它等于由 AD、DB 包围的矩形；因此由 AD、DB 包围的矩形也是中项的。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, σύμμετρος δὲ ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ, ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ μήκει· ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
又由于 AB 与 BC 在长度上不共测，而 GB 与 BE 共测，因此 AB 也与 BE 在长度上不共测；所以 AB 上的正方形也与由 AB、BE 包围的矩形不共测。
ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
然而，AD、DB 上的正方形之和等于 AB 上的正方形，而由 AB、ZD 包围的矩形，即由 AD、DB 包围的矩形，等于由 AB、BE 包围的矩形；因此 AD、DB 上的正方形之和与由 AD、DB 包围的矩形不共测。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.
Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，已求得两条在平方上不共测的线 AD、DB，使得它们上的正方形之和是中项的，而由它们包围的矩形也是中项的，并且还与它们上的正方形之和不共测；这正是所要证明的。
§10.prop1.36ἐὰν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων.
如果将两条仅在平方上共测的有理线相加，则整条线是无理的，且设它被称为二名线。
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν.
因为设已将两条仅在平方上共测的有理线 AB、BC 相加；我指，整条线 AC 是无理的。
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· αἱ γὰρ ΑΒ, ΒΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
因为由于 AB 在长度上与 BC 不共测（因为它们仅在平方上共测），且由于 AB 与 BC 的比等于由 AB、BC 包围的矩形与 BC 上的正方形的比，因此由 AB、BC 包围的矩形与 BC 上的正方形不共测。 然而，由 AB、BC 包围的矩形与两倍的由 AB、BC 包围的矩形共测，而 BC 上的正方形与 AB、BC 上的正方形之和共测（因为 AB、BC 是仅在平方上共测的有理线）；因此两倍的由 AB、BC 包围的矩形与 AB、BC 上的正方形之和不共测。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ συνθέντι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
且将两倍的由 AB、BC 包围的矩形与 AB、BC 上的正方形之和相加，即在 AC 上的正方形，与 AB、BC 上的正方形之和不共测。
ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ· ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 AB、BC 上的正方形之和是有理的；因此在 AC 上的正方形是无理的；所以 AC 也是无理的，且设它被称为二名线；这正是所要证明的。
§10.prop1.37ἐὰν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη.
如果将两条仅在平方上共测且包围一个有理面积的中项线相加，则整条线是无理的，且设它被称为第一二中项线。
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι· λέγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν.
因为设已将两条仅在平方上共测且包围一个有理面积的中项线 AB、BC 相加；我指，整条线 AC 是无理的。
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
因为由于 AB 在长度上与 BC 不共测，因此 AB、BC 上的正方形之和也与两倍的由 AB、BC 包围的矩形不共测。
καὶ συνθέντι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
而将 AB、BC 上的正方形之和与两倍的由 AB、BC 包围的矩形相加，即在 AC 上的正方形，与由 AB、BC 包围的矩形不共测。
ὑπόκεινται γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ· ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而由 AB、BC 包围的矩形是有理的；因为由设，已给的 AB、BC 包围了一个有理面积；因此在 AC 上的正方形是无理的；所以 AC 是无理的，且设它被称为第一二中项线；这正是所要证明的。