§10.prop1.30εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
求两条仅在平方上共测的有理线，使得较大线上的正方形比较小线上的正方形大，其差等于与较大线在长度上不共测的线上的正方形。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΕ, ΕΔ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΓΔ μὴ εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν τῷ πρὸ τούτου, ὅτι αἱ ΒΑ, ΑΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
设已给一条有理线 AB，以及两个平方数 GE、ED，使得它们的和 GD 不是平方数。 在 AB 上作半圆 AZB，并且设，DG 与 GE 的比，等于在 BA 上的正方形与在 AZ 上的正方形的比，并连接 ZB。 如同在此之前的命题一样，我们将证明 BA、AZ 是仅在平方上共测的有理线。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
并且，因为 DG 与 GE 的比等于在 BA 上的正方形与在 AZ 上的正方形的比，所以反转比例得，GD 与 DE 的比，等于在 AB 上的正方形与在 BZ 上的正方形的比。
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει.
而 GD 与 DE 的比，不等于平方数与平方数的比；因此在 AB 上的正方形与在 BZ 上的正方形的比，也不等于平方数与平方数的比；因此 AB 与 BZ 在长度上不共测。
καὶ δύναται ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
而且在 AB 上的正方形比在 AZ 上的正方形大，其差等于与 AB 不共测的 ZB 上的正方形。
αἱ ΑΒ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，AB、AZ 是仅在平方上共测的有理线，且较大的 AB 上的正方形比较小的 AZ 上的正方形大，其差等于在长度上与 AB 不共测的 ZB 上的正方形；这就是所要证明的。
§10.prop1.31εὑρεῖν δύο μέσας δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
求两条仅在平方上共测且包围一个有理面积的中项线，使得较大线上的正方形比较小线上的正方形大，其差等于与较大线在长度上共测的线上的正方形。
Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ α, Β, ὥστε τὴν Α μείζονα οὖσαν τῆς ἐλάσσονος τῆς Β μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
设已给两条仅在平方上共测的有理线 a、B，使得较大的 A 比较小的 B 大，其差等于与 A 在长度上共测的线上的正方形。
καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Γ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β·
设在 C 上的正方形等于由 A、B 所包围的矩形。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ· μέση ἄρα καὶ ἡ Γ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Γ, δ, ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ. σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Β δυνάμει μόνον·
而由 A、B 所包围的矩形是中项；因此在 C 上的正方形也是中项；因此 C 也是中项线。 并设由 C、D 所包围的矩形等于在 B 上的正方形。 而在 B 上的正方形是有理的；因此由 C、D 所包围的矩形也是有理的。 又因为，A 与 B 的比等于由 A、B 包围的矩形与在 B 上的正方形的比，而在 A、B 包围的矩形等于在 C 上的正方形，且在 B 上的正方形等于由 C、 D 包围的矩形，因此，A 与 B 的比等于在 C 上的正方形与由 C、D 包围的矩形的比。 而在 C 上的正方形与由 C、D 包围的矩形的比，等于 C 与 D 的比；因此，A 与 B 的比也等于 C 与 D 的比。
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Γ τῇ Δ δυνάμει μόνον.
而 A 与 B 仅在平方上共测；因此 C 与 D 也仅在平方上共测。
καί ἐστι μέση ἡ Γ· μέση ἄρα καὶ ἡ Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἡ δὲ Α τῆς Β μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Γ ἄρα τῆς Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
而且 C 是中项线；因此 D 也是中项线。 又因为，A 与 B 的比等于 C 与 D 的比，且较大的 A 比较小的 B 大，其差等于与 A 共测的线上的正方形，所以较大的 C 比较小的 D 大，其差也等于与 C 共测的线上的正方形。
Εὕρηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Γ, Δ ῥητὸν περιέχουσαι, καὶ ἡ Γ τῆς Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
因此，已求得两条仅在平方上共测且包围一个有理面积的中项线 C、D，且较大线 C 上的正方形比较小线 D 上的正方形大，其差等于在长度上与 C 共测的线上的正方形。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, ὅταν ἡ Α τῆς Β μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
而当较大线 A 比较小线 B 大，其差等于与 A 不共测的线上的正方形时，同样可以证明其差等于不共测线上的正方形。