§10.prop1.29εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
求两条仅在平方上共测的有理线，使得较大线上的正方形比较小线上的正方形大，其差等于与较大线在长度上共测的线上的正方形。
Ἐκκείσθω γάρ τις ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΔ, ΔΕ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ΓΕ μὴ εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ.
ἐπεὶ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, οὕτως ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ ΔΓ πρὸς ἀριθμὸν τὸν ΓΕ·
设已给一条有理线 AB，以及两个平方数 CD、DE，使得它们的差 CE 不是平方数。 在 AB 上作半圆 AZB，并且设，CD 与 CE 的比，等于在 BA 上的正方形与在 AZ 上的正方形的比，并连接 ZB。 因为，在 BA 上的正方形与在 AZ 上的正方形的比，等于 CD 与 CE 的比，所以，在 BA 上的正方形与在 AZ 上的正方形的比，等于数 CD 与数 CE 的比。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
因此，在 BA 上的正方形与在 AZ 上的正方形共测。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΑΖ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
而在 AB 上的正方形是有理的；因此在 AZ 上的正方形也是有理的；因此 AZ 也是有理线。 又因为 CD 与 CE 的比，不等于平方数与平方数的比，所以，在 BA 上的正方形与在 AZ 上的正方形的比，也不等于平方数与平方数的比。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΖ μήκει·
因此，AB 与 AZ 在长度上不共测。
αἱ ΒΑ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
因此，BA、AZ 是仅在平方上共测的有理线。
καὶ ἐπεί ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει.
并且，因为 CD 与 CE 的比等于在 BA 上的正方形与在 AZ 上的正方形的比，所以反转比例得，GD 与 DE 的比，等于在 AB 上的正方形与在 BZ 上的正方形的比。 而 GD 与 DE 的比，等于平方数与平方数的比；因此在 AB 上的正方形与在 BZ 上的正方形的比，也等于平方数与平方数的比；因此 AB 与 BZ 在长度上共测。
καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ· ἡ ΑΒ ἄρα τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῇ ΒΖ συμμέτρῳ ἑαυτῇ.
而在 AB 上的正方形等于在 AZ、ZB 上的正方形的和；因此在 AB 上的正方形比在 AZ 上的正方形大，其差等于与 AB 在长度上共测的 BZ 上的正方形。
Εὕρηνται ἄρα δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΒΑ, ΑΖ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΑΖ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，求得了两条仅在平方上共测的有理线 BA、AZ，使得较大线 AB 上的正方形比较小线 AZ 上的正方形大，其差等于在长度上与 AB 共测的 BZ 上的正方形；这就是所要证明的。