§10.prop1.30εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
平方においてのみ通約可能である２つの有理直線を見出すこと。 ただし、大きい方の直線が、小さい方の直線よりも、自身と長さにおいて通約不可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるように。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΕ, ΕΔ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΓΔ μὴ εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν τῷ πρὸ τούτου, ὅτι αἱ ΒΑ, ΑΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
有理直線 ΑΒ が設定され、また２つの平方数 ΓΕ, ΕΔ が、それらの和である ΓΔ が平方数でないように設定されるものとせよ。 そして ΑΒ の上に半円 ΑΖΒ が描かれるものとせよ。 そして ΔΓ と ΓΕ の比が、ΒΑ の上の正方形と ΑΖ の上の正方形の比と同じであるように作られるものとし、かつ ΖΒ が結ばれるものとせよ。 これより前のものと同様に、ΒΑ, ΑΖ は平方においてのみ通約可能な有理直線であることを私たちは示すであろう。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
そして、ΔΓ と ΓΕ の比が、ΒΑ の上の正方形と ΑΖ の上の正方形の比と同じであるから、したがって比を反転すると、ΓΔ と ΔΕ の比は、ΑΒ の上の正方形と ΒΖ の上の正方形の比と同じである。 ところで ΓΔ は ΔΕ に対して、平方数が平方数に対してもつ比をもたない。
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって ΑΒ の上の正方形も ΒΖ の上の正方形に対して、平方数が平方数に対してもつ比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει.
したがって、ΑΒ は ΒΖ と長さにおいて通約不可能である。
καὶ δύναται ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
そして ΑΒ は ΑΖ よりも、自身と通約不可能な ΖΒ の上の正方形分だけ、より大きく二乗できる。
αἱ ΑΒ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
したがって、ΑΒ, ΑΖ は平方においてのみ通約可能な有理直線であり、かつ ΑΒ は ΑΖ よりも、自身と長さにおいて通約不可能な ΖΒ の上の正方形分だけ、より大きく二乗できる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.31εὑρεῖν δύο μέσας δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
有理の面積を囲む、平方においてのみ通約可能である２つの中項直線を見出すこと。 ただし、大きい方の直線が、小さい方の直線よりも、自身と長さにおいて通約可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるように。
Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ α, Β, ὥστε τὴν Α μείζονα οὖσαν τῆς ἐλάσσονος τῆς Β μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
平方においてのみ通約可能な２つの有理直線 α, Β が設定されるものとせよ。 ただし、大きい方である Α が、小さい方である Β よりも、自身と長さにおいて通約可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるように。
καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Γ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β·
そして Α, Β によって囲まれる矩形に等しいものが、Γ の上の正方形であるとせよ。 ところで Α, Β によって囲まれる矩形は中項である。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ·
したがって Γ の上の正方形も中項である。
μέση ἄρα καὶ ἡ Γ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β·
したがって Γ も中項直線である。 そして Β の上の正方形に等しいものが、 Γ, Δ によって囲まれる矩形であるとせよ。 ところで Β の上の正方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Γ, δ, ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ·
したがって Γ, Δ によって囲まれる矩形も有理である。 そして、Α と Β の比は、Α, Β によって囲まれる矩形と Β の上の正方形の比と同じであり、かつ、Α, Β によって囲まれる矩形には Γ の上の正方形が等しく、Β の上の正方形には Γ, Δ によって囲まれる矩形が等しいから、したがって、Α と Β の比は、Γ の上の正方形と Γ, Δ によって囲まれる矩形の比と同じである。 ところで、Γ の上の正方形と Γ, Δ によって囲まれる矩形の比は、Γ と Δ の比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ. σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Β δυνάμει μόνον·
したがって、Α と Β の比もまた、Γ と Δ の比と同じである。 ところで Α は Β と平方においてのみ通約可能である。
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Γ τῇ Δ δυνάμει μόνον.
したがって Γ も Δ と平方においてのみ通約可能である。
καί ἐστι μέση ἡ Γ·
そして Γ は中項直線である。
μέση ἄρα καὶ ἡ Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἡ δὲ Α τῆς Β μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Γ ἄρα τῆς Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって Δ も中項直線である。 そして、Α と Β の比が、Γ と Δ の比と同じであり、かつ Α は Β よりも、自身と通約可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるから、したがって Γ も Δ よりも、自身と通約可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できる。
Εὕρηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Γ, Δ ῥητὸν περιέχουσαι, καὶ ἡ Γ τῆς Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
したがって、有理の面積を囲む、平方においてのみ通約可能である２つの中項直線 Γ, Δ が見出された。 そして Γ は Δ よりも、自身と長さにおいて通約可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できる。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, ὅταν ἡ Α τῆς Β μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
そして同様に、Α が Β よりも、自身と通約不可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるときには、自身と通約不可能な直線の上の正方形分についても示されるであろう。