§10.prop1.30εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
제곱에서만 통약할 수 있는 두 유리직선을 구하는 것. 단, 더 큰 직선 위의 정사각형이 더 작은 직선 위의 정사각형보다, 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 크도록 해야 한다.
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΕ, ΕΔ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΓΔ μὴ εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν τῷ πρὸ τούτου, ὅτι αἱ ΒΑ, ΑΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
유리직선 AB가 주어져 있고, 또한 두 정사각형수 GE, ED가 그들의 합인 GD가 정사각형수가 되지 않도록 주어져 있다고 하자. 그리고 AB 위에 반원 AZB를 그리고, DG와 GE의 비가 BA 위의 정사각형과 AZ 위의 정사각형의 비와 같도록 만들고, ZB를 잇자. 이것 이전의 명제와 마찬가지로, 우리는 BA, AZ가 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들임을 보일 것이다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그리고 DG와 GE의 비가 BA 위의 정사각형과 AZ 위의 정사각형의 비와 같으므로, 따라서 비율을 반전하면 GD와 DE의 비는 AB 위의 정사각형과 BZ 위의 정사각형의 비와 같다. 그런데 GD는 DE에 대하여 정사각형수가 정사각형수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는다.
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 AB 위의 정사각형 역시 BZ 위의 정사각형에 대하여 정사각형수가 정사각형수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει.
그러므로 AB는 BZ와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ δύναται ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그리고 AB는 AZ보다 자신과 통약할 수 없는 ZB 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있다.
αἱ ΑΒ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
그러므로 AB, AZ는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이고, AB는 AZ보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 ZB 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.31εὑρεῖν δύο μέσας δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
유리적 면적을 둘러싸는, 제곱에서만 통약할 수 있는 두 미디얼 직선을 구하는 것. 단, 더 큰 직선 위의 정사각형이 더 작은 직선 위의 정사각형보다, 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 크도록 해야 한다.
Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ α, Β, ὥστε τὴν Α μείζονα οὖσαν τῆς ἐλάσσονος τῆς Β μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
제곱에서만 통약할 수 있는 두 유리직선 a, B가 주어져 있다고 하자. 단, 더 큰 A가 더 작은 B보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있도록 한 것이다.
καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Γ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β·
그리고 A, B에 의해 둘러싸인 직사각형과 같은 것이 C 위의 정사각형이라고 하자. 그런데 A, B에 의해 둘러싸인 직사각형은 미디얼이다.
μέσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ·
그러므로 C 위의 정사각형 역시 미디얼이다.
μέση ἄρα καὶ ἡ Γ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β·
그러므로 C 역시 미디얼 직선이다. 그리고 B 위의 정사각형과 같은 것이 C, D에 의해 둘러싸인 직사각형이라고 하자. 그런데 B 위의 정사각형은 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Γ, δ, ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ·
그러므로 C, D에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 유리적이다. 그리고 A와 B의 비는 A, B에 의해 둘러싸인 직사각형과 B 위의 정사각형의 비와 같고, A, B에 의해 둘러싸인 직사각형에는 C 위의 정사각형이 같으며, B 위의 정사각형에는 C, D에 의해 둘러싸인 직사각형이 같으므로, 따라서 A와 B의 비는 C 위의 정사각형과 C, D에 의해 둘러싸인 직사각형의 비와 같다. 그런데 C 위의 정사각형과 C, D에 의해 둘러싸인 직사각형의 비는 C와 D의 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ. σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Β δυνάμει μόνον·
그러므로 A와 B의 비 역시 C와 D의 비와 같다. 그런데 A는 B와 제곱에서만 통약할 수 있다.
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Γ τῇ Δ δυνάμει μόνον.
그러므로 C 역시 D와 제곱에서만 통약할 수 있다.
καί ἐστι μέση ἡ Γ·
그리고 C는 미디얼 직선이다.
μέση ἄρα καὶ ἡ Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἡ δὲ Α τῆς Β μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Γ ἄρα τῆς Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 D 역시 미디얼 직선이다. 그리고 A와 B의 비가 C와 D의 비와 같고, A는 B보다 자신과 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있으므로, 따라서 C 역시 D보다 자신과 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있다.
Εὕρηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Γ, Δ ῥητὸν περιέχουσαι, καὶ ἡ Γ τῆς Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
그러므로 유리적 면적을 둘러싸는, 제곱에서만 통약할 수 있는 두 미디얼 직선 C, D가 구해졌다. 그리고 C는 D보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, ὅταν ἡ Α τῆς Β μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그리고 마찬가지로 A가 B보다 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있을 때, 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형에 대해서도 증명될 것이다.