§10.prop1.28#2λῆμμα
εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε τὸν ἐξ αὐτῶν συγκείμενον μὴ εἶναι τετράγωνον.
引理求两个平方数，使得它们的和不是平方数。
ἔστω γὰρ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὡς ἔφαμεν, τετράγωνος, καὶ ἄρτιος ὁ ΓΑ, καὶ τετμήσθω ὁ ΓΑ δίχα τῷ Δ. φανερὸν δή, ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ
ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνῳ.
因为，如我们所说，设由 ΑΒ, ΒΓ 的积是一个平方数，且 ΓΑ 是偶数，并让 ΓΑ 在 Δ 处被二等分。 那么显然，由 ΑΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΔ 上的正方形等于在 ΒΔ 上的正方形。
ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΔΕ· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνου.
让单位面积 ΔΕ 被减去；因此由 ΑΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΕ 上的正方形小于在 ΒΔ 上的正方形。
λέγω οὖν, ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ οὐκ ἔσται τετράγωνος.
那么我说，由 ΑΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΕ 上的正方形将不是平方数。
εἰ γὰρ ἔσται τετράγωνος, ἤτοι ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ ἢ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ ΒΕ, οὐκέτι δὲ καὶ μείζων, ἵνα μὴ τμηθῇ ἡ μονάς.
因为如果它是平方数，它要么等于在 ΒΕ 上的正方形，要么小于在 ΒΕ 上的正方形，而决不能更大，以免单位被分割。
ἔστω, εἰ δυνατόν, πρότερον ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΕ, καὶ ἔστω τῆς ΔΕ μονάδος διπλασίων ὁ ΗΑ. ἐπεὶ οὖν ὅλος ὁ ΑΓ ὅλου τοῦ ΓΔ ἐστι διπλασίων, ὧν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΕ ἐστι διπλασίων, καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιποῦ τοῦ ΕΓ ἐστι διπλασίων·
如果可能，首先设由 ΑΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΕ 上的正方形等于在 ΒΕ 上的正方形，并设 ΗΑ 是单位 ΔΕ 的两倍。 那么，既然整体 ΑΓ 是整体 ΓΔ 的两倍，其中 ΑΗ 是 ΔΕ 的两倍，所以余下的 ΗΓ 也是余下的 ΕΓ 的两倍。
δίχα ἄρα τέτμηται ὁ ΗΓ τῷ Ε. ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ.
因此 ΗΓ 在 Ε 处被二等分。 因此由 ΗΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΕ 上的正方形等于在 ΒΕ 上的正方形。
ἀλλὰ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ὑπόκειται τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ συνάγεται ὁ ΑΒ ἴσος τῷ ΗΒ· ὅπερ ἄτοπον.
但是，由 ΑΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΕ 上的正方形也被假设等于在 ΒΕ 上的正方形；因此由 ΗΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΕ 上的正方形等于由 ΑΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΕ 上的正方形。 并且，如果共同的在 ΓΕ 上的正方形被减去，则得出 ΑΒ 等于 ΗΒ；这是荒谬的。
οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ ΒΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τῷ ἀπὸ ΒΖ ἴσος, καὶ τοῦ ΔΖ διπλασίων ὁ ΘΑ. καὶ συναχθήσεται πάλιν διπλασίων ὁ ΘΓ τοῦ ΓΖ·
因此由 ΑΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΕ 上的正方形不等于在 ΒΕ 上的正方形。 那么我说，它也不小于在 ΒΕ 上的正方形。 因为如果可能，设它等于在 ΒΖ 上的正方形，且设 ΘΑ 是 ΔΖ 的两倍。
ὥστε καὶ τὸν ΓΘ δίχα τετμῆσθαι κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦτο τὸν ἐκ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ ἴσον γίνεσθαι τῷ ἀπὸ ΒΖ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΖ. ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσος ἔσται τῷ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ· ὅπερ ἄτοπον.
那么再次得出结论，ΘΓ 是 ΓΖ 的两倍；使得 ΓΘ 也在 Ζ 处被二等分，且因此由 ΘΒ, ΒΓ 的积加上在 ΖΓ 上的正方形等于在 ΒΖ 上的正方形。 而由 ΑΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΕ 上的正方形也被假设等于在 ΒΖ 上的正方形。 使得由 ΘΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΖ 上的正方形也将等于由 ΑΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΕ 上的正方形；这是荒谬的。
οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ ἐλάσσονι τοῦ ἀπὸ ΒΕ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ τῷ ἀπὸ ΒΕ. οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνός ἐστιν. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此由 ΑΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΕ 上的正方形不等于任何小于在 ΒΕ 上的正方形。 且它已被证明也不等于在 ΒΕ 上的正方形。 因此由 ΑΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΕ 上的正方形不是平方数；这就是所要证明的。