§10.prop1.28#2λῆμμα
εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε τὸν ἐξ αὐτῶν συγκείμενον μὴ εἶναι τετράγωνον.
보조정리 더한 합이 정사각형수가 되지 않는 두 정사각형수들을 찾는 것.
ἔστω γὰρ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὡς ἔφαμεν, τετράγωνος, καὶ ἄρτιος ὁ ΓΑ, καὶ τετμήσθω ὁ ΓΑ δίχα τῷ Δ. φανερὸν δή, ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ
ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνῳ.
왜냐하면, 우리가 말했듯이, ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱은 정사각형수라고 하고, 또한 ΓΑ는 짝수이며, ΓΑ는 Δ에서 둘로 자르자. 그러면 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΔ 위의 정사각형을 합한 것은 ΒΔ 위의 정사각형과 같음이 분명하다.
ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΔΕ·
1단위인 ΔΕ가 빼지도록 하자.
ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνου.
그러면 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΕ 위의 정사각형을 더한 것은 ΒΔ 위의 정사각형보다 작다.
λέγω οὖν, ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ οὐκ ἔσται τετράγωνος.
그렇다면 나는 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΕ 위의 정사각형을 더한 것은 정사각형수가 되지 않을 것이라고 말한다.
εἰ γὰρ ἔσται τετράγωνος, ἤτοι ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ ἢ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ ΒΕ, οὐκέτι δὲ καὶ μείζων, ἵνα μὴ τμηθῇ ἡ μονάς.
왜냐하면 만약 이것이 정사각형수라면, 이것은 ΒΕ 위의 정사각형과 같거나, 혹은 ΒΕ 위의 정사각형보다 작아야 하고, 결코 이보다 클 수는 없기 때문이다, 1단위가 분할되지 않도록 하기 위해서.
ἔστω, εἰ δυνατόν, πρότερον ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΕ, καὶ ἔστω τῆς ΔΕ μονάδος διπλασίων ὁ ΗΑ. ἐπεὶ οὖν ὅλος ὁ ΑΓ ὅλου τοῦ ΓΔ ἐστι διπλασίων, ὧν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΕ ἐστι διπλασίων, καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιποῦ τοῦ ΕΓ ἐστι διπλασίων·
만약 가능하다면, 먼저 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΕ 위의 정사각형을 더한 것이 ΒΕ 위의 정사각형과 같다고 하고, ΗΑ는 ΔΕ(1단위)의 두 배라고 하자. 그렇다면 전체 ΑΓ가 전체 ΓΔ의 두 배이고, 그중 ΑΗ가 ΔΕ의 두 배이므로, 따라서 남은 ΗΓ 역시 남은 ΕΓ의 두 배이다.
δίχα ἄρα τέτμηται ὁ ΗΓ τῷ Ε. ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ.
그러므로 ΗΓ는 Ε에서 둘로 잘려 있다. 그러므로 ΗΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΕ 위의 정사각형을 더한 것은 ΒΕ 위의 정사각형과 같다.
ἀλλὰ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ὑπόκειται τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ·
그런데 또한 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΕ 위의 정사각형을 더한 것 역시 ΒΕ 위의 정사각형과 같다고 가정되어 있다.
ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ συνάγεται ὁ ΑΒ ἴσος τῷ ΗΒ· ὅπερ ἄτοπον.
그러므로 ΗΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΕ 위의 정사각형을 더한 것은 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΕ 위의 정사각형을 더한 것과 같다. 그리고 공통인 ΓΕ 위의 정사각형이 양변에서 빼지면 ΑΒ가 ΗΒ와 같다는 결론이 나오는데, 이는 모순이다.
οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ ΒΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τῷ ἀπὸ ΒΖ ἴσος, καὶ τοῦ ΔΖ διπλασίων ὁ ΘΑ. καὶ συναχθήσεται πάλιν διπλασίων ὁ ΘΓ τοῦ ΓΖ·
그러므로 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΕ 위의 정사각형을 더한 것은 ΒΕ 위의 정사각형과 같지 않다. 그렇다면 나는 이것이 ΒΕ 위의 정사각형보다 작지도 않다고 말한다. 왜냐하면 만약 가능하다면, 이것이 ΒΖ 위의 정사각형과 같다고 하고, ΘΑ는 ΔΖ의 두 배라고 하자. 그러면 다시 ΘΓ가 ΓΖ의 두 배라는 결론이 얻어질 것이다.
ὥστε καὶ τὸν ΓΘ δίχα τετμῆσθαι κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦτο τὸν ἐκ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ ἴσον γίνεσθαι τῷ ἀπὸ ΒΖ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΖ. ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσος ἔσται τῷ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ· ὅπερ ἄτοπον.
그리하여 ΓΘ 역시 Ζ에서 둘로 잘려 있게 되고, 이 때문에 ΘΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΖΓ 위의 정사각형을 더한 것은 ΒΖ 위의 정사각형과 같아진다. 그런데 또한 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΕ 위의 정사각형을 더한 것 역시 ΒΖ 위의 정사각형과 같다고 가정되어 있다. 그리하여 ΘΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΖ 위의 정사각형을 더한 것은 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΕ 위의 정사각형을 더한 것과 같아지게 되는데, 이는 모순이다.
οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ ἐλάσσονι τοῦ ἀπὸ ΒΕ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ τῷ ἀπὸ ΒΕ. οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνός ἐστιν.
그러므로 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΕ 위의 정사각형을 더한 것은 ΒΕ 위의 정사각형보다 작은 어떤 것과도 같지 않다. 그런데 그것은 ΒΕ 위의 정사각형과도 같지 않음이 증명되었다. 그러므로 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΕ 위의 정사각형을 더한 것은 정사각형수가 아니다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.