§10.prop1.28#2λῆμμα
εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε τὸν ἐξ αὐτῶν συγκείμενον μὴ εἶναι τετράγωνον.
補題足し合わされた和が平方数にならないような、２つの平方数を見出すこと。
ἔστω γὰρ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὡς ἔφαμεν, τετράγωνος, καὶ ἄρτιος ὁ ΓΑ, καὶ τετμήσθω ὁ ΓΑ δίχα τῷ Δ. φανερὸν δή, ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ
ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνῳ.
なぜなら、私たちが言ったように、ΑΒ, ΒΓ の積は平方数であり、かつ ΓΑ は偶数であり、ΓΑ は Δ において２等分されているものとせよ。 そうすると、ΑΒ, ΒΓ の積に ΓΔ の上の正方形を加えたものは、ΒΔ の上の正方形に等しいことは明らかである。
ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΔΕ·
１単位である ΔΕ が引かれるものとせよ。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνου.
したがって、ΑΒ, ΒΓ の積に ΓΕ の上の正方形を加えたものは、 ΒΔ の上の正方形よりも小さい。
λέγω οὖν, ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ οὐκ ἔσται τετράγωνος.
そこで私は、ΑΒ, ΒΓ の積に ΓΕ の上の正方形を加えたものは平方数にならないであろう、と言う。
εἰ γὰρ ἔσται τετράγωνος, ἤτοι ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ ἢ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ ΒΕ, οὐκέτι δὲ καὶ μείζων, ἵνα μὴ τμηθῇ ἡ μονάς.
なぜなら、もしそれが平方数であるならば、それは ΒΕ の上の正方形に等しいか、あるいは ΒΕ の上の正方形よりも小さいかであり、もはやそれより大きくはないからである。 １単位が分割されることのないように。
ἔστω, εἰ δυνατόν, πρότερον ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΕ, καὶ ἔστω τῆς ΔΕ μονάδος διπλασίων ὁ ΗΑ. ἐπεὶ οὖν ὅλος ὁ ΑΓ ὅλου τοῦ ΓΔ ἐστι διπλασίων, ὧν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΕ ἐστι διπλασίων, καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιποῦ τοῦ ΕΓ ἐστι διπλασίων·
もし可能なら、まず ΑΒ, ΒΓ の積に ΓΕ の上の正方形を加えたものが、ΒΕ の上の正方形に等しいとし、かつ、ΗΑ は ΔΕ（１単位）の２倍であるとせよ。 さて、全体である ΑΓ は全体である ΓΔ の２倍であり、それらのうち ΑΗ は ΔΕ の２倍であるから、したがって残りである ΗΓ もまた残りである ΕΓ の２倍である。
δίχα ἄρα τέτμηται ὁ ΗΓ τῷ Ε. ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ.
したがって、ΗΓ は Ε において２等分されている。 したがって、ΗΒ, ΒΓ の積に ΓΕ の上の正方形を加えたものは、ΒΕ の上の正方形に等しい。
ἀλλὰ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ὑπόκειται τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ·
しかしまた、ΑΒ, ΒΓ の積に ΓΕ の上の正方形を加えたものも、ΒΕ の上の正方形に等しいと仮定されている。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ συνάγεται ὁ ΑΒ ἴσος τῷ ΗΒ·
したがって、 ΗΒ, ΒΓ の積に ΓΕ の上の正方形を加えたものは、ΑΒ, ΒΓ の積に ΓΕ の上の正方形を加えたものに等しい。 そして、共通のものとして ΓΕ の上の正方形が差し引かれると、ΑΒ は ΗΒ に等しいという結論になる。
ὅπερ ἄτοπον.
これは不合理である。
οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ ΒΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τῷ ἀπὸ ΒΖ ἴσος, καὶ τοῦ ΔΖ διπλασίων ὁ ΘΑ. καὶ συναχθήσεται πάλιν διπλασίων ὁ ΘΓ τοῦ ΓΖ·
したがって、ΑΒ, ΒΓ の積に ΓΕ の上の正方形を加えたものは、ΒΕ の上の正方形に等しくない。 そこで私は、ΒΕ の上の正方形よりも小さくもない、と言う。 なぜなら、もし可能なら、それは ΒΖ の上の正方形に等しいとし、かつ ΘΑ は ΔΖ の２倍であるとせよ。 そうすると、再び ΘΓ は ΓΖ の２倍であるという結論になるであろう。
ὥστε καὶ τὸν ΓΘ δίχα τετμῆσθαι κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦτο τὸν ἐκ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ ἴσον γίνεσθαι τῷ ἀπὸ ΒΖ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΖ. ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσος ἔσται τῷ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ·
その結果、ΓΘ も Ζ において２等分されており、このために ΘΒ, ΒΓ の積に ΖΓ の上の正方形を加えたものは ΒΖ の上の正方形に等しくなる。 ところで、ΑΒ, ΒΓ の積に ΓΕ の上の正方形を加えたものもまた、ΒΖ の上の正方形に等しいと仮定されている。 その結果、ΘΒ, ΒΓ の積に ΓΖ の上の正方形を加えたものは、ΑΒ, ΒΓ の積に ΓΕ の上の正方形を加えたものに等しくなるであろう。
ὅπερ ἄτοπον.
これは不合理である。
οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ ἐλάσσονι τοῦ ἀπὸ ΒΕ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ τῷ ἀπὸ ΒΕ. οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνός ἐστιν.
したがって、ΑΒ, ΒΓ の積に ΓΕ の上の正方形を加えたものは、ΒΕ の上の正方形よりも小さいものに等しくはない。 ところで、それは ΒΕ の上の正方形にも等しくないことが示された。 したがって、 ΑΒ, ΒΓ の積に ΓΕ の上の正方形を加えたものは平方数ではない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。