§10.prop1.28#1μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας.
求仅在平方上可通约且包围中项矩形的中项直线。
Ἐκκείσθωσαν ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, Γ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον ἡ Δ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε.
ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Δ, μέσον ἐστίν.
设设出仅在平方上可通约的有理直线 Α, Β, Γ，并取 Α, Β 的比例中项为 Δ，且使作为 Β 对 Γ 的比，等于 Δ 对 Ε 的比。 因为 Α, Β 是仅在平方上可通约的有理直线，所以由 Α, Β 包围的矩形，即在 Δ 上的正方形，是中项面积。
μέση ἄρα ἡ Δ. καὶ ἐπεὶ αἱ Β, Γ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, καί ἐστιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, καὶ αἱ Δ, Ε ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
因此 Δ 是中项直线。 又因为 Β, Γ 仅在平方上可通约，且作为 Β 对 Γ 的比，等于 Δ 对 Ε 的比，所以 Δ, Ε 也是仅在平方上可通约的。
μέση δὲ ἡ Δ· μέση ἄρα καὶ ἡ Ε·
而 Δ 是中项直线；因此 Ε 也是中项直线。
αἱ Δ, Ε ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
因此 Δ, Ε 是仅在平方上可通约的中项直线。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν.
那么我说，它们也包围一个中项矩形。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Δ, ἡ Γ πρὸς τὴν Ε. ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν Δ, ἡ Δ πρὸς τὴν Α·
因为，既然作为 Β 对 Γ 的比，等于 Δ 对 Ε 的比，所以更比而言，作为 Β 对 Δ 的比，等于 Γ 对 Ε 的比。
καὶ ὡς ἄρα ἡ Δ πρὸς τὴν Α, ἡ Γ πρὸς τὴν Ε· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.
Εὕρηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而作为 Β 对 Δ 的比，等于 Δ 对 Α 的比；因此也作为 Δ 对 Α 的比，等于 Γ 对 Ε 的比；所以由 Α, Γ 包围的矩形等于由 Δ, Ε 包围的矩形。 而由 Α, Γ 包围的矩形是中项面积；因此由 Δ, Ε 包围的矩形也是中项面积。 因此，求得了仅在平方上可通约且包围中项矩形的中项直线；这就是所要证明的。
λῆμμα
εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε καὶ τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν εἶναι τετράγωνον.
引理求两个平方数，使得它们的和也是平方数。
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔστωσαν δὲ ἤτοι ἄρτιοι ἢ περιττοί.
设设出两个数 ΑΒ, ΒΓ，且让它们或同为偶数或同为奇数。
καὶ ἐπεί, ἐάν τε ἀπὸ ἀρτίου ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ἐάν τε ἀπὸ περισσοῦ περισσός, ὁ λοιπὸς ἄρτιός ἐστιν, ὁ λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΓ ἄρτιός ἐστιν.
又因为，无论是从偶数中减去偶数，还是从奇数中减去奇数，余数都是偶数，所以余数 ΑΓ 是偶数。
τετμήσθω ὁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ. ἔστωσαν δὲ καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ ἤτοι ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἢ τετράγωνοι, οἳ καὶ αὐτοὶ ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετραγώνῳ.
让 ΑΓ 在 Δ 处被二等分。 又设 ΑΒ, ΒΓ 也是相似的平面数或平方数（它们本身也是相似的平面数）；因此，由 ΑΒ, ΒΓ 的积加上在 ΓΔ 上的正方形等于在 ΒΔ 上的正方形。
καί ἐστι τετράγωνος ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἐπειδήπερ ἐδείχθη, ὅτι, ἐὰν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος τετράγωνός ἐστιν.
而由 ΑΒ, ΒΓ 的积是一个平方数，因为这已经被证明：如果两个相似的平面数互相相乘产生某个数，所产生的数是平方数。
εὕρηνται ἄρα δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ ὅ τε ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, οἳ συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετράγωνον.
因此，求得了两个平方数，即由 ΑΒ, ΒΓ 的积与在 ΓΔ 上的平方数，它们相加产生在 ΒΔ 上的平方数。
καὶ φανερόν, ὅτι εὕρηνται πάλιν δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ εἶναι τετράγωνον, ὅταν οἱ ΑΒ, ΒΓ ὅμοιοι ὦσιν ἐπίπεδοι.
且显然，再次求得了两个平方数，即在 ΒΔ 上的平方数与在 ΓΔ 上的平方数，使得它们的差，即由 ΑΒ, ΒΓ 的积，在 ΑΒ, ΒΓ 是相似平面数时，是平方数。
ὅταν δὲ μὴ ὦσιν ὅμοιοι ἐπίπεδοι, εὕρηνται δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΓ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ οὐκ ἔστι τετράγωνος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而当它们不是相似平面数时，求得了两个平方数，即在 ΒΔ 上的平方数与在 ΔΓ 上的平方数，它们的差，即由 ΑΒ, ΒΓ 的积，不是平方数；这就是所要证明的。