§10.prop1.24τὸ ὑπὸ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν κατά τινα τῶν εἰρημένων τρόπων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μέσον ἐστίν.
以在前述任一方式中在长度上可通约的中项直线所包围的矩形是中项面积。
ὑπὸ γὰρ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχέσθω ὀρθογώνιον τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ μέσον ἐστίν.
因为，设由在长度上可通约的中项直线 ΑΒ, ΒΓ 包围的矩形为 ΑΓ；我说， ΑΓ 是中项面积。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει· ὥστε καὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ σύμμετρόν ἐστιν.
因为，设在 ΑΒ 上作正方形 ΑΔ；因此 ΑΔ 是中项面积。 又因为 ΑΒ 与 ΒΓ 在长度上可通约，且 ΑΒ 等于 ΒΔ，所以 ΔΒ 与 ΒΓ 在长度上也是可通约的；由此 ΔΑ 与 ΑΓ 也是可通约的。
μέσον δὲ τὸ ΔΑ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 ΔΑ 是中项面积；因此 ΑΓ 也是中项面积；这就是所要证明的。
§10.prop1.25τὸ ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.
由仅在平方上可通约的中项直线所包围的矩形，或是有理面积，或是中项面积。
ὑπὸ γὰρ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.
因为，设由仅在平方上可通约的中项直线 ΑΒ, ΒΓ 包围的矩形为 ΑΓ；我说， ΑΓ 或是有理面积，或是中项面积。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τὰ ΑΔ, ΒΕ· μέσον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μὲν ΑΔ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΘΜ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΜΚ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ, καὶ ἔτι τῷ ΒΕ ἴσον ὁμοίως παρὰ τὴν ΚΝ παραβεβλήσθω τὸ ΝΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΛ·
因为，设在 ΑΒ, ΒΓ 上作正方形 ΑΔ, ΒΕ；因此 ΑΔ, ΒΕ 的每一个都是中项面积。 设设出有理直线 ΖΗ，并让等于 ΑΔ 的矩形平行四边形 ΗΘ 应用在 ΖΗ 上，产生的宽度为 ΖΘ；并让等于 ΑΓ 的矩形平行四边形 ΜΚ 应用在 ΘΜ 上，产生的宽度为 ΘΚ；再让等于 ΒΕ 的矩形平行四边形 ΝΛ 同理应用在 ΚΝ 上，产生的宽度为 ΚΛ；因此 ΖΘ, ΘΚ, ΚΛ 在一直线上。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα εἰσὶν αἱ ΖΘ, ΘΚ, ΚΛ. ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΕ τῷ ΝΛ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΗΘ, ΝΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΚΛ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει.
既然 ΑΔ, ΒΕ 的每一个都是中项面积，且 ΑΔ 等于 ΗΘ，ΒΕ 等于 ΝΛ，所以 ΗΘ, ΝΛ 的每一个也是中项面积。 并且它们应用在有理直线 ΖΗ 上；因此 ΖΘ, ΚΛ 的每一个都是有理的，且在长度上与 ΖΗ 不可通约。
καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΔ τῷ ΒΕ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΗΘ τῷ ΝΛ. καί ἐστιν ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΚΛ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΚΛ μήκει.
又因为 ΑΔ 与 ΒΕ 可通约，所以 ΗΘ 与 ΝΛ 也是可通约的。 并且作为 ΗΘ 对 ΝΛ 的比，等于 ΖΘ 对 ΚΛ 的比；因此 ΖΘ 与 ΚΛ 在长度上可通约。
αἱ ΖΘ, ΚΛ ἄρα ῥηταί εἰσι μήκει σύμμετροι· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΞΒ τῇ ΒΓ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ· ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ. ἴσον δέ ἐστι τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΜΚ, τὸ δὲ ΓΞ τῷ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΜΚ, οὕτως τὸ ΜΚ πρὸς τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΛ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΚ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΘΝ· εἰ δὲ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, αἱ ΚΘ, ΘΜ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα τὸ ΘΝ. τὸ ΘΝ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.
所以 ΖΘ, ΚΛ 是在长度上可通约的有理直线；因此由 ΖΘ, ΚΛ 包围的矩形是有理的。 又因为 ΔΒ 等于 ΒΑ，且 ΞΒ 等于 ΒΓ，所以作为 ΔΒ 对 ΒΓ 的比，等于 ΑΒ 对 ΒΞ 的比。 但作为 ΔΒ 对 ΒΓ 的比，等于 ΔΑ 对 ΑΓ 的比；而作为 ΑΒ 对 ΒΞ 的比，等于 ΑΓ 对 ΓΞ 的比；因此作为 ΔΑ 对 ΑΓ 的比，等于 ΑΓ 对 ΓΞ 的比。 而 ΑΔ 等于 ΗΘ，ΑΓ 等于 ΜΚ，ΓΞ 等于 ΝΛ；因此作为 ΗΘ 对 ΜΚ 的比，等于 ΜΚ 对 ΝΛ 的比；因此也作为 ΖΘ 对 ΘΚ 的比，等于 ΘΚ 对 ΚΛ 的比；所以由 ΖΘ, ΚΛ 包围的矩形等于 ΘΚ 上的正方形。 而由 ΖΘ, ΚΛ 包围的矩形是有理的；因此 ΘΚ 上的正方形也是有理的；所以 ΘΚ 是有理的。 而若它与 ΖΗ 在长度上可通约，则 ΘΝ 是有理的；但若它与 ΖΗ 在长度上不可通约，则 ΚΘ, ΘΜ 是仅在平方上可通约的有理直线；因此 ΘΝ 是中项面积。 所以 ΘΝ 或是有理面积，或是中项面积。
ἴσον δὲ τὸ ΘΝ τῷ ΑΓ· τὸ ΑΓ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.
而 ΘΝ 等于 ΑΓ；因此 ΑΓ 或是有理面积，或是中项面积。
τὸ ἄρα ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς.
所以由仅在平方上可通约的中项直线所包围的矩形，及以下类似。