§10.prop1.24τὸ ὑπὸ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν κατά τινα τῶν εἰρημένων τρόπων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μέσον ἐστίν.
앞서 언급된 방식들 중 어느 한 방식으로든 길이에서 통약가능한 중항선들에 의해 둘러싸인 직사각형은 중항면적이다.
ὑπὸ γὰρ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχέσθω ὀρθογώνιον τὸ ΑΓ·
왜냐하면 길이에서 통약가능한 중항선들 ΑΒ, ΒΓ에 의해 둘러싸인 직사각형을 ΑΓ라 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ μέσον ἐστίν.
나는 ΑΓ가 중항면적이라고 말한다.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ·
왜냐하면 ΑΒ 위에 정사각형 ΑΔ가 그려졌다고 하자.
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει·
그러면 ΑΔ는 중항면적이다. 그리고 ΑΒ는 ΒΓ와 길이에서 통약가능하고, ΑΒ는 ΒΔ와 같으므로, 따라서 ΔΒ 역시 ΒΓ와 길이에서 통약가능하다.
ὥστε καὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ σύμμετρόν ἐστιν.
그리하여 ΔΑ 역시 ΑΓ와 통약가능하다.
μέσον δὲ τὸ ΔΑ·
그런데 ΔΑ는 중항면적이다.
μέσον ἄρα καὶ τὸ ΑΓ·
그러므로 ΑΓ 역시 중항면적이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.25τὸ ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.
평방에서만 통약가능한 중항선들에 의해 둘러싸인 직사각형은 유리면적이거나 중항면적이다.
ὑπὸ γὰρ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ·
왜냐하면 평방에서만 통약가능한 중항선들 ΑΒ, ΒΓ에 의해 둘러싸인 직사각형을 ΑΓ라 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.
나는 ΑΓ가 유리면적이거나 중항면적이라고 말한다.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τὰ ΑΔ, ΒΕ·
왜냐하면 ΑΒ, ΒΓ 위에 정사각형들 ΑΔ, ΒΕ가 그려졌다고 하자.
μέσον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μὲν ΑΔ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΘΜ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΜΚ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ, καὶ ἔτι τῷ ΒΕ ἴσον ὁμοίως παρὰ τὴν ΚΝ παραβεβλήσθω τὸ ΝΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΛ·
그러면 ΑΔ, ΒΕ 각각은 중항면적이다. 그리고 유리선 ΖΗ가 설정되었다고 하고, ΑΔ와 같은 직사각형 평행사변형 ΗΘ가 ΖΗ에 대고 붙여져서 폭 ΖΘ를 만든다고 하자. 그리고 ΑΓ와 같은 직사각형 평행사변형 ΜΚ가 ΘΜ에 대고 붙여져서 폭 ΘΚ를 만든다고 하자. 그리고 다시 ΒΕ와 같은 직사각형 평행사변형 ΝΛ이 마찬가지로 ΚΝ에 대고 붙여져서 폭 ΚΛ을 만든다고 하자.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα εἰσὶν αἱ ΖΘ, ΘΚ, ΚΛ. ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΕ τῷ ΝΛ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΗΘ, ΝΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται·
그러면 ΖΘ, ΘΚ, ΚΛ은 일직선 위에 있다. 그러면 ΑΔ, ΒΕ 각각은 중항면적이고, 또한 ΑΔ는 ΗΘ와 같고, ΒΕ는 ΝΛ과 같으므로, 따라서 ΗΘ, ΝΛ 각각 역시 중항면적이다. 그리고 그것들은 유리선 ΖΗ에 대고 붙여져 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΚΛ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει.
그러므로 ΖΘ, ΚΛ 각각은 유리선이고 ΖΗ와 길이에서 통약불가능하다.
καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΔ τῷ ΒΕ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΗΘ τῷ ΝΛ. καί ἐστιν ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΚΛ·
그리고 ΑΔ는 ΒΕ와 통약가능하므로, 따라서 ΗΘ 역시 ΝΛ과 통약가능하다. 그리고 ΗΘ가 ΝΛ에 대한 비율은 ΖΘ가 ΚΛ에 대한 비율과 같으므로, 따라서 ΖΘ 역시 ΚΛ과 길이에서 통약가능하다.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΚΛ μήκει.
그러므로 ΖΘ, ΚΛ은 길이에서 통약가능한 유리선들이다.
αἱ ΖΘ, ΚΛ ἄρα ῥηταί εἰσι μήκει σύμμετροι·
그러므로 ΖΘ, ΚΛ에 의해 둘러싸인 직사각형은 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΞΒ τῇ ΒΓ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ· ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ·
그리고 ΔΒ는 ΒΑ와 같고, ΞΒ는 ΒΓ와 같으므로, 따라서 ΔΒ가 ΒΓ에 대한 비율은 ΑΒ가 ΒΞ에 대한 비율과 같다. 그런데 ΔΒ가 ΒΓ에 대한 비율은 ΔΑ가 ΑΓ에 대한 비율과 같고, ΑΒ가 ΒΞ에 대한 비율은 ΑΓ가 ΓΞ에 대한 비율과 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ. ἴσον δέ ἐστι τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΜΚ, τὸ δὲ ΓΞ τῷ ΝΛ·
그러므로 ΔΑ가 ΑΓ에 대한 비율은 ΑΓ가 ΓΞ에 대한 비율과 같다. 그런데 ΑΔ는 ΗΘ와 같고, ΑΓ는 ΜΚ와 같고, ΓΞ는 ΝΛ과 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΜΚ, οὕτως τὸ ΜΚ πρὸς τὸ ΝΛ·
그러므로 ΗΘ가 ΜΚ에 대한 비율은 ΜΚ가 ΝΛ에 대한 비율과 같다.
ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΛ·
그러므로 또한 ΖΘ가 ΘΚ에 대한 비율은 ΘΚ가 ΚΛ에 대한 비율과 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΚ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ·
그러므로 ΖΘ, ΚΛ에 의해 둘러싸인 직사각형은 ΘΚ 위의 정사각형과 같다. 그런데 ΖΘ, ΚΛ에 의해 둘러싸인 직사각형은 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ·
그러므로 ΘΚ 위의 정사각형 역시 유리적이다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΘΝ·
그러므로 ΘΚ는 유리선이다. 그리고 만일 그것이 ΖΗ와 길이에서 통약가능하다면, ΘΝ은 유리적이다.
εἰ δὲ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, αἱ ΚΘ, ΘΜ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러나 만일 그것이 ΖΗ와 길이에서 통약불가능하다면, ΚΘ, ΘΜ은 평방에서만 통약가능한 유리선들이다.
μέσον ἄρα τὸ ΘΝ. τὸ ΘΝ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.
그러므로 ΘΝ은 중항면적이다. 그러므로 ΘΝ은 유리면적이거나 중항면적이다.
ἴσον δὲ τὸ ΘΝ τῷ ΑΓ·
그런데 ΘΝ은 ΑΓ와 같다.
τὸ ΑΓ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.
그러므로 ΑΓ 역시 유리면적이거나 중항면적이다.
τὸ ἄρα ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 평방에서만 통약가능한 중항선들에 의해 둘러싸인, 이하 생략.