§10.prop1.22τὸ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρʼ ἣν παράκειται, μήκει.
将中项线上的正方形应用在一条有理直线上，它所产生的宽度是一条与它所贴合的直线在长度上不可通约且有理的直线。
ἔστω μέση μὲν ἡ Α, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΒ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΔ·
设 Α 为中项线，ΓΒ 为有理直线，并让等于 Α 上的正方形的矩形面积 ΒΔ 应用在 ΒΓ 上，产生的宽度为 ΓΔ。
λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μήκει.
我说，ΓΔ 是有理的，且在长度上与 ΓΒ 不可通约。
ἐπεὶ γὰρ μέση ἐστὶν ἡ Α, δύναται χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων.
因为，设 Α 是中项线，则它等幂于一个由仅在平方上可通约的有理直线所包围的面积。
δυνάσθω τὸ ΗΖ. δύναται δὲ καὶ τὸ ΒΔ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔ τῷ ΗΖ. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον·
设它等幂于 ΗΖ。 而它也等幂于 ΒΔ；因此 ΒΔ 等于 ΗΖ。
τῶν δὲ ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΔ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ· ῥητὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΖ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· ῥηταὶ γάρ εἰσι δυνάμει· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ σύμμετρόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἴσα γάρ ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς Α·
并且，它也与它等角；在相等且等角的平行四边形中，夹等角的边成反比；因此按比例，ΒΓ 对 ΕΗ 的比，等于 ΕΖ 对 ΓΔ 的比。 因此，ΒΓ 上的正方形对 ΕΗ 上的正方形的比，也等于 ΕΖ 上的正方形对 ΓΔ 上的正方形的比。 而 ΓΒ 上的正方形与 ΕΗ 上的正方形可通约，因为它们每一条都是有理的；因此 ΕΖ 上的正方形与 ΓΔ 上的正方形也是可通约的。 而 ΕΖ 上的正方形是有理的；因此 ΓΔ 上的正方形也是有理的；所以 ΓΔ 是有理的。 又因为 ΕΖ 与 ΕΗ 在长度上不可通约，因为它们仅在平方上可通约，而 ΕΖ 对 ΕΗ 的比，等于 ΕΖ 上的正方形对由 ΖΕ, ΕΗ 包围的矩形的比，因此 ΕΖ 上的正方形与由 ΖΕ, ΕΗ 包围的矩形不可通约。 但是 ΕΖ 上的正方形与 ΓΔ 上的正方形可通约，因为它们在平方上是有理的；而由 ΖΕ, ΕΗ 包围的矩形与由 ΑΓ, ΓΒ 包围的矩形可通约，因为它们均等于 Α 上的正方形；因此 ΓΔ 上的正方形与由 ΔΓ, ΓΒ 包围的矩形也是不可通约的。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ μήκει.
而 ΓΔ 上的正方形对由 ΔΓ, ΓΒ 包围的矩形的比，等于 ΔΓ 对 ΓΒ 的比；因此 ΔΓ 与 ΓΒ 在长度上不可通约。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μήκει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以 ΓΔ 是有理的，且在长度上与 ΓΒ 不可通约；这就是所要证明的。
§10.prop1.23ἡ τῇ μέσῃ σύμμετρος μέση ἐστίν.
与中项线可通约的直线是中项线。
ἔστω μέση ἡ Α, καὶ τῇ Α σύμμετρος ἔστω ἡ Β· λέγω, ὅτι καὶ ἡ Β μέση ἐστίν.
设 Α 为中项线，且 Β 与 Α 可通约；我说，Β 也是中项线。
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΔ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
因为，设设出有理直线 ΓΔ，并让等于 Α 上的正方形的矩形面积 ΓΕ 应用在 ΓΔ 上，产生的宽度为 ΕΔ；因此 ΕΔ 是有理的，且在长度上与 ΓΔ 不可通约。
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ. ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Β. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ·
并让等于 Β 上的正方形的矩形面积 ΓΖ 应用在 ΓΔ 上，产生的宽度为 ΔΖ。 既然 Α 与 Β 可通约，则 Α 上的正方形也与 Β 上的正方形可通约。 而 Α 上的正方形等于 ΕΓ，Β 上的正方形等于 ΓΖ；因此 ΕΓ 与 ΓΖ 可通约。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ. καί ἐστιν ὡς τὸ ΕΓ πρὸς τὸ ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ μήκει.
并且，作为 ΕΓ 对 ΓΖ 的比，等于 ΕΔ 对 ΔΖ 的比；因此 ΕΔ 与 ΔΖ 在长度上可通约。
ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μήκει· αἱ ΓΔ, ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
而 ΕΔ 是有理的，且在长度上与 ΔΓ 不可通约；因此 ΔΖ 也是有理的，且在长度上与 ΔΓ 不可通约；因此 ΓΔ, ΔΖ 是仅在平方上可通约的有理直线。
ἡ δὲ τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων δυναμένη μέση ἐστίν.
而等幂于由仅在平方上可通约的有理直线所包围的矩形的直线是中项线。
ἡ ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΖ δυναμένη μέση ἐστίν·
因此，等幂于由 ΓΔ, ΔΖ 包围的矩形的直线是中项线。
καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΖ ἡ Β· μέση ἄρα ἐστὶν ἡ Β.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τὸ τῷ μέσῳ χωρίῳ σύμμετρον μέσον ἐστίν.
而 Β 等幂于由 ΓΔ, ΔΖ 包围的矩形；因此 Β 是中项线。 系因此由此显然可知，与中项面积可通约的面积是中项面积。
ὡσαύτως δὲ τοῖς ἐπὶ τῶν ῥητῶν εἰρημένοις καὶ ἐπὶ τῶν μέσων ἐξακολουθεῖ, τὴν τῇ μέσῃ μήκει σύμμετρον λέγεσθαι μέσην καὶ σύμμετρον αὐτῇ μὴ μόνον μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει, ἐπειδήπερ καθόλου αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει.
并且，与关于有理直线所说的相同方式，在关于中项线的情况下也同样推导出来：在长度上与中项线可通约的直线被称作中项线，并且不仅在长度上，而且在平方上与它可通约，因为一般来说，在长度上可通约的直线也必然在平方上可通约。
ἐὰν δὲ τῇ μέσῃ σύμμετρός τις ᾖ δυνάμει, εἰ μὲν καὶ μήκει, λέγονται καὶ οὕτως μέσαι καὶ σύμμετροι μήκει καὶ δυνάμει, εἰ δὲ δυνάμει μόνον, λέγονται μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
而若某条直线与中项线在平方上可通约，若在长度上也同样如此，则它们也如此被称为中项线，且在长度和平方上均可通约；但若仅在平方上如此，则被称为仅在平方上可通约的中项线。