§10.prop1.26μέσον μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.
中项面积不超出一个中项面积达一个有理面积。
εἰ γὰρ δυνατόν, μέσον τὸ ΑΒ μέσου τοῦ ΑΓ ὑπερεχέτω ῥητῷ τῷ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΖΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΖΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΔ λοιπῷ τῷ ΚΘ ἐστιν ἴσον.
因为，如果可能的话，设中项面积 ΑΒ 超出中项面积 ΑΓ 达有理面积 ΔΒ，并设设出有理直线 ΕΖ，且让等于 ΑΒ 的矩形平行四边形 ΖΘ 应用在 ΕΖ 上，产生的宽度为 ΕΘ；并让等于 ΑΓ 的 ΖΗ 被减去［从 ΖΘ 中］；因此，剩下的 ΒΔ 等于剩下的 ΚΘ。
ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ΔΒ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ. ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΑΓ, καί ἐστι τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΖΘ ἴσον, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΖΗ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΖΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΘΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
而 ΔΒ 是有理的；因此 ΚΘ 也是有理的。 既然 ΑΒ, ΑΓ 的每一个都是中项面积，且 ΑΒ 等于 ΖΘ，ΑΓ 等于 ΖΗ，所以 ΖΘ, ΖΗ 的每一个也是中项面积。 并且它们应用在有理直线 ΕΖ 上；因此 ΘΕ, ΕΗ 的每一个都是有理的，且在长度上与 ΕΖ 不可通约。
καὶ ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΔΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΚΘ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
又因为 ΔΒ 是有理的，且等于 ΚΘ，所以 ΚΘ 也是有理的。 并且它应用在有理直线 ΕΖ 上；因此 ΗΘ 是有理的，且在长度上与 ΕΖ 可通约。
ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΘ μήκει.
然而 ΕΗ 也是有理的，且在长度上与 ΕΖ 不可通约；因此 ΕΗ 在长度上与 ΗΘ 不可通约。
καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τετράγωνα· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· διπλάσιον γάρ ἐστιν αὐτοῦ· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· καὶ συναμφότερα ἄρα τά τε ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, ἀσύμμετρόν ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ. ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ. ἀλλὰ καὶ ῥητή· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
而且，作为 ΕΗ 对 ΗΘ 的比，等于在 ΕΗ 上的正方形对由 ΕΗ, ΗΘ 包围的矩形的比；因此在 ΕΗ 上的正方形与由 ΕΗ, ΗΘ 包围的矩形不可通约。 然而在 ΕΗ, ΗΘ 上的正方形［之和］与在 ΕΗ 上的正方形是可通约的；因为两者都是有理的；而由 ΕΗ, ΗΘ 包围的矩形的两倍与由 ΕΗ, ΗΘ 包围的矩形是可通约的；因为它是它的两倍；因此在 ΕΗ, ΗΘ 上的正方形［之和］与由 ΕΗ, ΗΘ 包围的矩形的两倍不可通约；所以两者之和，即在 ΕΗ, ΗΘ 上的正方形［之和］与由 ΕΗ, ΗΘ 包围的矩形的两倍（也就是在 ΕΘ 上的正方形），与在 ΕΗ, ΗΘ 上的正方形［之和］不可通约。 而在 ΕΗ, ΗΘ 上的正方形［之和］是有理的；因此在 ΕΘ 上的正方形是无理的。 所以 ΕΘ 是无理的。 但它又是有理的；这是不可能的。
μέσον ἄρα μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，中项面积不超出一个中项面积达一个有理面积；这就是所要证明的。
§10.prop1.27μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας.
求仅在平方上可通约且包围有理矩形的中项直线。
Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον ἡ Γ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ.
καὶ ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Γ, μέσον ἐστίν.
设设出两条仅在平方上可通约的有理直线 Α, Β，并取它们的比例中项为 Γ，且使作为 Α 对 Β 的比，等于 Γ 对 Δ 的比。 又因为 Α, Β 是仅在平方上可通约的有理直线，所以由 Α, Β 包围的矩形，即在 Γ 上的正方形，是中项面积。
μέση ἄρα ἡ Γ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, αἱ δὲ Α, Β δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ αἱ Γ, Δ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
因此 Γ 是中项直线。 又因为作为 Α 对 Β 的比，等于 Γ 对 Δ 的比，而 Α, Β 仅在平方上可通约，所以 Γ, Δ 也是仅在平方上可通约的。
καί ἐστι μέση ἡ Γ· μέση ἄρα καὶ ἡ Δ. αἱ Γ, Δ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
且 Γ 是中项直线；因此 Δ 也是中项直线。 因此 Γ, Δ 是仅在平方上可通约的中项直线。
λέγω, ὅτι καὶ ῥητὸν περιέχουσιν.
我说，它们也包围一个有理矩形。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Β πρὸς τὴν Δ. ἀλλʼ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς τὴν Β·
因为，既然作为 Α 对 Β 的比，等于 Γ 对 Δ 的比，所以更比而言，作为 Α 对 Γ 的比，等于 Β 对 Δ 的比。
καὶ ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Δ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ.
Εὕρηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
然而作为 Α 对 Γ 的比，等于 Γ 对 Β 的比；因此也作为 Γ 对 Β 的比，等于 Β 对 Δ 的比；所以由 Γ, Δ 包围的矩形等于在 Β 上的正方形。 而在 Β 上的正方形是有理的；因此由 Γ, Δ 包围的矩形也是有理的。 因此，求得了仅在平方上可通约且包围有理矩形的中项直线；这就是所要证明的。