§10.prop1.24τὸ ὑπὸ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν κατά τινα τῶν εἰρημένων τρόπων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μέσον ἐστίν.
長さにおいて通約可能である中項直線に挟まれ、前述のしかたのいずれかによって包まれる長方形は中項面積である。
ὑπὸ γὰρ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχέσθω ὀρθογώνιον τὸ ΑΓ·
なぜなら、長さにおいて通約可能である中項直線 ΑΒ, ΒΓ に挟まれた長方形を ΑΓ とせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ μέσον ἐστίν.
私は、 ΑΓ は中項面積である、と言う。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ·
なぜなら、ΑΒ の上の正方形 ΑΔ が作図されるものとせよ。
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει·
したがって ΑΔ は中項面積である。 そして、ΑΒ は ΒΓ と長さにおいて通約可能であり、かつ ΑΒ は ΒΔ と等しいから、したがって ΔΒ も ΒΓ と長さにおいて通約可能である。
ὥστε καὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ σύμμετρόν ἐστιν.
それゆえ、ΔΑ も ΑΓ と通約可能である。
μέσον δὲ τὸ ΔΑ·
ところで、ΔΑ は中項面積である。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ΑΓ·
したがって ΑΓ も中項面積である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.25τὸ ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.
平方においてのみ通約可能である中項直線に挟まれた長方形は、有理面積か中項面積かのいずれかである。
ὑπὸ γὰρ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ·
なぜなら、平方においてのみ通約可能である中項直線 ΑΒ, ΒΓ に挟まれた長方形を ΑΓ とせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.
私は、 ΑΓ は有理面積か中項面積かのいずれかである、と言う。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τὰ ΑΔ, ΒΕ·
なぜなら、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形 ΑΔ, ΒΕ が作図されるものとせよ。
μέσον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μὲν ΑΔ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΘΜ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΜΚ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ, καὶ ἔτι τῷ ΒΕ ἴσον ὁμοίως παρὰ τὴν ΚΝ παραβεβλήσθω τὸ ΝΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΛ·
したがって ΑΔ, ΒΕ のそれぞれは中項面積である。 そして、有理線 ΖΗ が設定されるものとし、ΑΔ に等しい長方形の平行四辺形 ΗΘ が、ΖΗ に沿って適用され、幅 ΖΘ を生じるものとせよ。 また ΑΓ に等しい長方形の平行四辺形 ΜΚ が、ΘΜ に沿って適用され、幅 ΘΚ を生じるものとせよ。 さらに ΒΕ に等しい長方形の平行四辺形 ΝΛ が、同様に ΚΝ に沿って適用され、幅 ΚΛ を生じるものとせよ。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα εἰσὶν αἱ ΖΘ, ΘΚ, ΚΛ. ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΕ τῷ ΝΛ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΗΘ, ΝΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται·
したがって、ΖΘ, ΘΚ, ΚΛ は一直線上にある。 そこで、ΑΔ, ΒΕ のそれぞれは中項面積であり、また ΑΔ は ΗΘ と等しく、ΒΕ は ΝΛ と等しいから、したがって ΗΘ, ΝΛ のそれぞれも中項面積である。 そして、それらは有理線 ΖΗ に沿って貼られている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΚΛ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει.
したがって、ΖΘ, ΚΛ のそれぞれは有理線であり、かつ ΖΗ と長さにおいて非通約である。
καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΔ τῷ ΒΕ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΗΘ τῷ ΝΛ. καί ἐστιν ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΚΛ·
アンド、ΑΔ は ΒΕ と通約可能であるから、したがって ΗΘ も ΝΛ と通約可能である。 そして、ΗΘ が ΝΛ に対する比は、ΖΘ が ΚΛ に対する比と同じであるから、したがって ΖΘ も ΚΛ と長さにおいて通約可能である。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΚΛ μήκει.
したがって、ΖΘ, ΚΛ は有理線であって長さにおいて通約可能である。
αἱ ΖΘ, ΚΛ ἄρα ῥηταί εἰσι μήκει σύμμετροι·
したがって、ΖΘ, ΚΛ に挟まれた長方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΞΒ τῇ ΒΓ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ· ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ·
そして、ΔΒ は ΒΑ と等しく、ΞΒ は ΒΓ と等しいから、したがって、ΔΒ が ΒΓ に対する比は、ΑΒ が ΒΞ に対する比と同じである。 ところが、 ΔΒ が ΒΓ に対する比は、ΔΑ が ΑΓ に対する比と同じであり、ΑΒ が ΒΞ に対する比は、ΑΓ が ΓΞ に対する比と同じである。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ. ἴσον δέ ἐστι τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΜΚ, τὸ δὲ ΓΞ τῷ ΝΛ·
したがって、ΔΑ が ΑΓ に対する比は、ΑΓ が ΓΞ に対する比と同じである。 ところで、ΑΔ は ΗΘ と等しく、ΑΓ は ΜΚ と等しく、ΓΞ は ΝΛ と等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΜΚ, οὕτως τὸ ΜΚ πρὸς τὸ ΝΛ·
したがって、ΗΘ が ΜΚ に対する比は、 ΜΚ が ΝΛ に対する比と同じである。
ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΛ·
したがってまた、ΖΘ が ΘΚ に対する比は、ΘΚ が ΚΛ に対する比と同じである。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΚ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ·
したがって、ΖΘ, ΚΛ に挟まれた長方形は ΘΚ の上の正方形と等しい。 ところで、ΖΘ, ΚΛ に挟まれた長方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ·
したがって、ΘΚ の上の正方形も有理である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΘΝ·
したがって、ΘΚ は有理線である。 そして、もしそれが ΖΗ と長さにおいて通約可能であるならば、 ΘΝ は有理である。
εἰ δὲ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, αἱ ΚΘ, ΘΜ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
しかし、もしそれが ΖΗ と長さにおいて非通約であるならば、ΚΘ, ΘΜ は有理線であって平方においてのみ通約可能である。
μέσον ἄρα τὸ ΘΝ. τὸ ΘΝ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.
したがって、ΘΝ は中項面積である。 したがって、ΘΝ は有理面積か中項面積かのいずれかである。
ἴσον δὲ τὸ ΘΝ τῷ ΑΓ·
そして、ΘΝ は ΑΓ と等しい。
τὸ ΑΓ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.
したがって、ΑΓ も有理面積か中項面積かのいずれかである。
τὸ ἄρα ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって、平方においてのみ通約可能である中項直線に挟まれた、および以下同様。