§10.prop1.22τὸ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρʼ ἣν παράκειται, μήκει.
中項線上の正方形が有理線に沿って適用されるならば、それは、適用される対象の直線と長さにおいて非通約で有理な直線幅を生じる。
ἔστω μέση μὲν ἡ Α, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΒ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΔ·
中項線を Α, 有理線を ΓΒ とせよ。 そして Α の上の正方形に等しい長方形の面積 ΒΔ が ΒΓ に沿って適用され、幅 ΓΔ を生じるものとせよ。
λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μήκει.
私は、ΓΔ は有理であり、かつ ΓΒ と長さにおいて非通約である、と言う。
ἐπεὶ γὰρ μέση ἐστὶν ἡ Α, δύναται χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων.
なぜなら、Α は中項線であるから、平方においてのみ通約可能である有理な直線に挟まれた面積を等価（平方）する。
δυνάσθω τὸ ΗΖ. δύναται δὲ καὶ τὸ ΒΔ·
それを ΗΖ と等価（平方）するものとせよ。 ところで、それ［Α］は ΒΔ も等価（平方）する。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔ τῷ ΗΖ. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον·
したがって、ΒΔ は ΗΖ と等しい。 そして、それ［ΒΔ］はこれ［ΗΖ］と等角でもある。
τῶν δὲ ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
等しくかつ等角な平行四辺形においては、等しい角を挟む辺は逆比例する。
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΔ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ·
したがって、比例関係として、ΒΓ が ΕΗ に対する比は、ΕΖ が ΓΔ に対する比と同じである。 したがってまた、ΒΓ の上の正方形が ΕΗ の上の正方形に対する比は、ΕΖ の上の正方形が ΓΔ の上の正方形に対する比と同じである。 ところで、ΓΒ の上の正方形は ΕΗ の上の正方形と通約可能である。
ῥητὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν·
なぜなら、それらのそれぞれは有理線だからである。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ·
したがって、 ΕΖ の上の正方形も ΓΔ の上の正方形と通約可能である。 ところで、ΕΖ の上の正方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ·
したがって、ΓΔ の上の正方形も有理である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΖ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· ῥηταὶ γάρ εἰσι δυνάμει· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ σύμμετρόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἴσα γάρ ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς Α·
したがって、ΓΔ は有理である。 そして、ΕΖ は ΕΗ と長さにおいて非通約であり（なぜなら、それらは平方においてのみ通約可能だからである）、ΕΖ が ΕΗ に対する比は、ΕΖ の上の正方形が ΖΕ, ΕΗ に挟まれた長方形に対する比と同じであるから、したがって ΕΖ の上の正方形は ΖΕ, ΕΗ に挟まれた長方形と非通約である。 ところが、ΕΖ の上の正方形は ΓΔ の上の正方形と通約可能であり（なぜなら、それらは平方において有理だからである）、外的な量として、ΖΕ, ΕΗ に挟まれた長方形は ΑΓ, ΓΒ に挟まれた長方形と通約可能である（なぜなら、それらは Α の上の正方形と等しいからである）、したがって ΓΔ の上の正方形も ΔΓ, ΓΒ に挟まれた長方形と非通約である。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ·
そして、ΓΔ の上の正方形が ΔΓ, ΓΒ に挟まれた長方形に対する比は、ΔΓ が ΓΒ に対する比と同じである。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ μήκει.
したがって、ΔΓ も ΓΒ と長さにおいて非通約である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μήκει·
したがって、ΓΔ は有理であり、かつ ΓΒ と長さにおいて非通約である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.23ἡ τῇ μέσῃ σύμμετρος μέση ἐστίν.
中項線と通約可能である直線は中項線である。
ἔστω μέση ἡ Α, καὶ τῇ Α σύμμετρος ἔστω ἡ Β·
中項線を Α とし、Α と通約可能である直線を Β とせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ἡ Β μέση ἐστίν.
私は、Β も中項線である、と言う。
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΔ·
なぜなら、有理線 ΓΔ が設定されるものとし、Α の上の正方形に等しい長方形の面積 ΓΕ が ΓΔ に沿って適用され、幅 ΕΔ を生じるものとせよ。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、ΕΔ は有理であり、かつ ΓΔ と長さにおいて非通約である。
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ. ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Β. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ·
また、Β の上の正方形に等しい長方形の面積 ΓΖ が ΓΔ に沿って適用され、幅 ΔΖ を生じるものとせよ。 そこで、Α は Β と通約可能であるから、Α の上の正方形も Β の上の正方形と通約可能である。 ところで、Α の上の正方形は ΕΓ と等しく、Β の上の正方形は ΓΖ と等しい。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ. καί ἐστιν ὡς τὸ ΕΓ πρὸς τὸ ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ·
したがって、ΕΓ も ΓΖ と通約可能である。 そして、 ΕΓ が ΓΖ に対する比は、ΕΔ が ΔΖ に対する比と同じである。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ μήκει.
したがって、ΕΔ も ΔΖ と長さにおいて通約可能である。
ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μήκει·
ところで、ΕΔ は有理であり、かつ ΔΓ と長さにおいて非通約である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μήκει·
したがって、ΔΖ も有理であり、かつ ΔΓ と長さにおいて非通約である。
αἱ ΓΔ, ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがって、ΓΔ, ΔΖ は、平方においてのみ通約可能である有理線である。
ἡ δὲ τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων δυναμένη μέση ἐστίν.
ところで、平方においてのみ通約可能である有理線に挟まれた長方形を等価（平方）する直線は中項線である。
ἡ ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΖ δυναμένη μέση ἐστίν·
したがって、ΓΔ, ΔΖ に挟まれた長方形を等価（平方）する直線は中項線である。
καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΖ ἡ Β·
そして Β は ΓΔ, ΔΖ に挟まれた長方形を等価（平方）する。
μέση ἄρα ἐστὶν ἡ Β.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τὸ τῷ μέσῳ χωρίῳ σύμμετρον μέσον ἐστίν.
したがって、Β は中項線である。 Πόρισμα 系。 したがってこのことから、中項面積と通約可能である面積は中項面積であるということが明白である。
ὡσαύτως δὲ τοῖς ἐπὶ τῶν ῥητῶν εἰρημένοις καὶ ἐπὶ τῶν μέσων ἐξακολουθεῖ, τὴν τῇ μέσῃ μήκει σύμμετρον λέγεσθαι μέσην καὶ σύμμετρον αὐτῇ μὴ μόνον μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει, ἐπειδήπερ καθόλου αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει.
また、有理線について語られたことと同様のことが中項線についても成り立ち、長さにおいて中項線と通約可能である直線は、中項線と呼ばれ、かつ長さにおいてのみならず平方においてもそれと通約可能であると呼ばれる。 なぜなら一般に、長さにおいて通約可能であるものは必ず平方においても通約可能だからである。
ἐὰν δὲ τῇ μέσῃ σύμμετρός τις ᾖ δυνάμει, εἰ μὲν καὶ μήκει, λέγονται καὶ οὕτως μέσαι καὶ σύμμετροι μήκει καὶ δυνάμει, εἰ δὲ δυνάμει μόνον, λέγονται μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
しかし、もしある直線が中項線と平方において通約可能であるならば、もし長さにおいてもそうであるならば、それらはこのようにも中項線であり、かつ長さおよび平方において通約可能であると言われ、もし平方においてのみであるならば、平方においてのみ通約可能である中項線と言われる。