§10.prop1.22τὸ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρʼ ἣν παράκειται, μήκει.
중항선 위의 정사각형이 유리선에 대고 붙여진다면, 그것은 붙여지는 대상인 직선과 길이에서 통약불가능하고 유리적인 직선을 폭으로 만든다.
ἔστω μέση μὲν ἡ Α, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΒ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΔ·
중항선을 Α, 유리선을 ΓΒ라 하고, Α 위의 정사각형과 같은 직사각형 면적 ΒΔ가 ΒΓ에 대고 붙여져서 폭 ΓΔ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μήκει.
나는 ΓΔ가 유리적이고, ΓΒ와 길이에서 통약불가능하다고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ μέση ἐστὶν ἡ Α, δύναται χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων.
왜냐하면 Α는 중항선이므로, 평방에서만 통약가능한 유리선들에 의해 둘러싸인 면적을 등가(평방)한다.
δυνάσθω τὸ ΗΖ. δύναται δὲ καὶ τὸ ΒΔ·
그것을 ΗΖ와 등가(평방)한다고 하자. 그런데 그것은 ΒΔ 역시 등가(평방)한다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔ τῷ ΗΖ. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον·
그러므로 ΒΔ는 ΗΖ와 같다. 그리고 그것은 그것과 등각이기도 하다.
τῶν δὲ ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΔ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ·
같은 넓이이면서 등각인 평행사변형들에서는 같은 각을 끼고 있는 변들이 역비례하므로, 비례에 따라 ΒΓ가 ΕΗ에 대한 비율은 ΕΖ가 ΓΔ에 대한 비율과 같다. 그러므로 ΒΓ 위의 정사각형이 ΕΗ 위의 정사각형에 대한 비율 역시 ΕΖ 위의 정사각형이 ΓΔ 위의 정사각형에 대한 비율과 같다. 그런데 ΓΒ 위의 정사각형은 ΕΗ 위의 정사각형과 통약가능하다.
ῥητὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν·
왜냐하면 그것들 각각이 유리선이기 때문이다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ·
그러므로 ΕΖ 위의 정사각형 역시 ΓΔ 위의 정사각형과 통약가능하다. 그런데 ΕΖ 위의 정사각형은 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ·
그러므로 ΓΔ 위의 정사각형 역시 유리적이다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΖ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· ῥηταὶ γάρ εἰσι δυνάμει· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ σύμμετρόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἴσα γάρ ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς Α·
그러므로 ΓΔ는 유리적이다. 그리고 ΕΖ는 ΕΗ와 길이에서 통약불가능하며(왜냐하면 그것들은 평방에서만 통약가능하기 때문이다), ΕΖ가 ΕΗ에 대한 비율은 ΕΖ 위의 정사각형이 ΖΕ, ΕΗ에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비율과 같으므로, 따라서 ΕΖ 위의 정사각형은 ΖΕ, ΕΗ에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약불가능하다. 그런데 ΕΖ 위의 정사각형은 ΓΔ 위의 정사각형과 통약가능하고(왜냐하면 그것들은 평방에서 유리적이기 때문이다), ΖΕ, ΕΗ에 의해 둘러싸인 직사각형은 ΑΓ, ΓΒ에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약가능하므로(왜냐하면 그것들은 Α 위의 정사각형과 같기 때문이다), 따라서 ΓΔ 위의 정사각형 역시 ΔΓ, ΓΒ에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약불가능하다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ·
그리고 ΓΔ 위의 정사각형이 ΔΓ, ΓΒ에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비율은 ΔΓ가 ΓΒ에 대한 비율과 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ μήκει.
그러므로 ΔΓ 역시 ΓΒ와 길이에서 통약불가능하다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μήκει·
그러므로 ΓΔ는 유리적이고, ΓΒ와 길이에서 통약불가능하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.23ἡ τῇ μέσῃ σύμμετρος μέση ἐστίν.
중항선과 통약가능한 직선은 중항선이다.
ἔστω μέση ἡ Α, καὶ τῇ Α σύμμετρος ἔστω ἡ Β·
중항선을 Α라 하고, Α와 통약가능한 직선을 Β라 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ἡ Β μέση ἐστίν.
나는 Β 역시 중항선이라고 말한다.
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΔ·
왜냐하면 유리선 ΓΔ가 설정되었다고 하고, Α 위의 정사각형과 같은 직사각형 면적 ΓΕ가 ΓΔ에 대고 붙여져서 폭 ΕΔ를 만든다고 하자.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 ΕΔ는 유리적이고, ΓΔ와 길이에서 통약불가능하다.
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ. ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Β. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ·
그리고 Β 위의 정사각형과 같은 직사각형 면적 ΓΖ가 ΓΔ에 대고 붙여져서 폭 ΔΖ를 만든다고 하자. 그러면 Α는 Β와 통약가능하므로, Α 위의 정사각형 역시 Β 위의 정사각형과 통약가능하다. 그런데 Α 위의 정사각형은 ΕΓ와 같고, Β 위의 정사각형은 ΓΖ와 같다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ. καί ἐστιν ὡς τὸ ΕΓ πρὸς τὸ ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ·
그러므로 ΕΓ 역시 ΓΖ와 통약가능하다. 그리고 ΕΓ가 ΓΖ에 대한 비율은 ΕΔ가 ΔΖ에 대한 비율과 같다.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ μήκει.
그러므로 ΕΔ 역시 ΔΖ와 길이에서 통약가능하다.
ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μήκει·
그런데 ΕΔ는 유리적이고, ΔΓ와 길이에서 통약불가능하다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μήκει·
그러므로 ΔΖ 역시 유리적이고, ΔΓ와 길이에서 통약불가능하다.
αἱ ΓΔ, ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 ΓΔ, ΔΖ는 평방에서만 통약가능한 유리선들이다.
ἡ δὲ τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων δυναμένη μέση ἐστίν.
그런데 평방에서만 통약가능한 유리선들에 의해 둘러싸인 직사각형을 등가(평방)하는 직선은 중항선이다.
ἡ ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΖ δυναμένη μέση ἐστίν·
그러므로 ΓΔ, ΔΖ에 의해 둘러싸인 직사각형을 등가(평방)하는 직선은 중항선이다.
καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΖ ἡ Β·
그리고 Β는 ΓΔ, ΔΖ에 의해 둘러싸인 직사각형을 등가(평방)한다.
μέση ἄρα ἐστὶν ἡ Β.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τὸ τῷ μέσῳ χωρίῳ σύμμετρον μέσον ἐστίν.
그러므로 Β는 중항선이다. 따름정리 그러므로 이로부터 중항면적과 통약가능한 면적은 중항면적임이 분명하다.
ὡσαύτως δὲ τοῖς ἐπὶ τῶν ῥητῶν εἰρημένοις καὶ ἐπὶ τῶν μέσων ἐξακολουθεῖ, τὴν τῇ μέσῃ μήκει σύμμετρον λέγεσθαι μέσην καὶ σύμμετρον αὐτῇ μὴ μόνον μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει, ἐπειδήπερ καθόλου αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει.
또한 유리선들의 경우에 언급된 것과 마찬가지 방식으로 중항선들의 경우에도 다음과 같은 사실이 따른다. 즉, 중항선과 길이에서 통약가능한 직선은 중항선이라 불리며, 그것과 길이에서뿐만 아니라 평방에서도 통약가능하다고 불린다. 왜냐하면 일반적으로 길이에서 통약가능한 것들은 전적으로 평방에서도 통약가능하기 때문이다.
ἐὰν δὲ τῇ μέσῃ σύμμετρός τις ᾖ δυνάμει, εἰ μὲν καὶ μήκει, λέγονται καὶ οὕτως μέσαι καὶ σύμμετροι μήκει καὶ δυνάμει, εἰ δὲ δυνάμει μόνον, λέγονται μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러나 만일 어떤 직선이 중항선과 평방에서 통약가능하다면, 만일 길이에서도 그렇다면, 그것들은 이와 같이 중항선이며 길이와 평방에서 통약가능하다고 불리고, 만일 평방에서만 그렇다면 평방에서만 통약가능한 중항선들이라 불린다.