§10.prop1.19τὸ ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων κατά τινα τῶν προειρημένων τρόπων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ῥητόν ἐστιν.
由在上述任一种方式下在长度上可通约的有理直线所包围的矩形是有理的。
ὑπὸ γὰρ ῥητῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι ῥητόν ἐστι τὸ ΑΓ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ·
因为，设由在长度上可通约的有理直线 ΑΒ, ΒΓ 包围的矩形为 ΑΓ；我说，ΑΓ 是有理的。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ μήκει.
因为，设在 ΑΒ 上描绘正方形 ΑΔ；因此 ΑΔ 是有理的。 又因为 ΑΒ 与 ΒΓ 在长度上可通约，且 ΑΒ 等于 ΒΔ，所以 ΒΔ 与 ΒΓ 在长度上也是可通约的。
καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΓ.
τὸ ἄρα ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς.
并且，ΒΔ 对 ΒΓ 的比，等于 ΔΑ 对 ΑΓ 的比。 因此 ΔΑ 与 ΑΓ 可通约。 而 ΔΑ 是有理的；因此 ΑΓ 也是有理的。 是故，由在长度上可通约的有理直线所包围的，及以下等等。
§10.prop1.20ἐὰν ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ σύμμετρον τῇ, παρʼ ἣν παράκειται, μήκει.
若将一个有理面积应用在一条有理直线上，则它所产生的宽度是一条与它所贴合的直线在长度上可通约且有理的直线。
ῥητὸν γὰρ τὸ ΑΓ παρὰ ῥητὴν κατά τινα πάλιν τῶν προειρημένων τρόπων τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω πλάτος ποιοῦν τὴν ΒΓ·
因为，设将有理面积 ΑΓ 应用在根据前述任何一种方式均为有理的直线 ΑΒ 上，产生的宽度为 ΒΓ。
λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΑ μήκει.
我说，ΒΓ 是有理的，且在长度上与 ΒΑ 可通约。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. ῥητὸν δὲ καὶ τὸ ΑΓ·
因为，设在 ΑΒ 上描绘正方形 ΑΔ；因此 ΑΔ 是有理的。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. καί ἐστιν ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ. σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ·
而 ΑΓ 也是有理的；因此 ΔΑ 与 ΑΓ 可通约。 并且，ΔΑ 对 ΑΓ 的比，等于 ΔΒ 对 ΒΓ 的比。 因此 ΔΒ 与 ΒΓ 也是可通约的。
ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ· σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΑΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΒ μήκει.
但 ΔΒ 等于 ΒΑ；因此 ΑΒ 与 ΒΓ 也是可通约的。 而 ΑΒ 是有理的；因此 ΒΓ 也是有理的，且在长度上与 ΑΒ 可通约。
ἐὰν ἄρα ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, καὶ τὰ ἑξῆς.
是故，若将一个有理面积应用在一条有理直线上，及以下等等。
§10.prop1.21τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση.
由仅在平方上可通约的有理直线所包围的矩形是无理的，且等面积正方形的边也是无理的，并让它被称为中项线。
ὑπὸ γὰρ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι ἄλογόν ἐστι τὸ ΑΓ, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση.
因为，设由仅在平方上可通约的有理直线 ΑΒ, ΒΓ 包围的矩形为 ΑΓ；我说，ΑΓ 是无理的，且等面积正方形的边也是无理的，并让它被称为中项线。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον ὑπόκεινται σύμμετροι· ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει.
因为，设在 ΑΒ 上描绘正方形 ΑΔ；因此 ΑΔ 是有理的。 又因为 ΑΒ 与 ΒΓ 在长度上不可通约（因为假定它们仅在平方上可通约），且 ΑΒ 等于 ΒΔ，所以 ΔΒ 与 ΒΓ 在长度上也是不可通约的。
καί ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΑΓ· ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ·
并且，ΔΒ 对 ΒΓ 的比，等于 ΑΔ 对 ΑΓ 的比；因此 ΔΑ 与 ΑΓ 不可通约。 而 ΔΑ 是有理的；因此 ΑΓ 是无理的。
ὥστε καὶ ἡ δυναμένη τὸ ΑΓ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以等面积于 ΑΓ 的正方形的边也是无理的，并让它被称为中项线；这就是所要证明的。
λῆμμα
ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν.
引理若有两条直线，第一条对第二条的比，等于第一条上的正方形对由这两条直线包围的矩形的比。
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΖΕ, ΕΗ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΖΕ τετράγωνον τὸ ΔΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΔ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΗ, καί ἐστι τὸ μὲν ΖΔ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τὸ δὲ ΔΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΗ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΕ, ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, τουτέστιν ὡς τὸ ΗΔ πρὸς τὸ ΖΔ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
设两条直线为 ΖΕ, ΕΗ。 我说，ΖΕ 对 ΕΗ 的比，等于 ΖΕ 上的正方形对由 ΖΕ, ΕΗ 包围的矩形的比。 因为，设在 ΖΕ 上描绘正方形 ΔΖ，并补全矩形 ΗΔ。 因为 ΖΕ 对 ΕΗ 的比，等于 ΖΔ 对 ΔΗ 的比，而 ΖΔ 是 ΖΕ 上的正方形，ΔΗ 是由 ΔΕ, ΕΗ 包围的矩形，即由 ΖΕ, ΕΗ 包围的矩形，因此，ΖΕ 对 ΕΗ 的比，等于 ΖΕ 上的正方形对由 ΖΕ, ΕΗ 包围的矩形的比。 同理，由 ΗΕ, ΕΖ 包围的矩形对 ΕΖ 上的正方形的比，即 ΗΔ 对 ΖΔ 的比，等于 ΗΕ 对 ΕΖ 的比；这就是所要证明的。