§1.prop.45τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
在给定的直边角内，作一个平行四边形等于给定的直边形。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Ε· δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓΔ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ τῇ Ε.
ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ συνεστάτω τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΖΘ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΚΖ γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε· καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΗΘ εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε. καὶ ἐπεὶ ἡ Ε γωνία ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΖ, ΗΘΜ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΜ ἐστιν ἴση.
设给定的直边形为 ΑΒΓΔ，给定的直边角为 Ε；必须在给定的角 Ε 内，作一个平行四边形等于直边形 ΑΒΓΔ。 连接 ΔΒ，并在角 ΘΚΖ 内作一个平行四边形 ΖΘ 等于三角形 ΑΒΔ，此角等于 Ε；且在直线 ΗΘ 上，在角 ΗΘΜ 内贴合一个平行四边形 ΗΜ 等于三角形 ΔΒΓ，此角等于 Ε。 因为角 Ε 等于角 ΘΚΖ、ΗΘΜ 的每一个，所以角 ΘΚΖ 也等于角 ΗΘΜ。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΚΘΗ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ ταῖς ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἴσαι εἰσίν.
加入共同的角 ΚΘΗ；因此，角 ΖΚΘ、ΚΘΗ 之和等于角 ΚΘΗ、ΗΘΜ 之和。
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
但是，角 ΖΚΘ、ΚΘΗ 之和等于两直角；因此，角 ΚΘΗ、ΗΘΜ 之和也等于两直角。
πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΗΘ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ δύο εὐθεῖαι αἱ ΚΘ, ΘΜ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΜ·
于是，对于一条直线 ΗΘ 及其上的点 Θ，不位于同一侧的两条直线 ΚΘ、ΘΜ 使邻角之和等于两直角；因此，ΚΘ 与 ΘΜ 在同一直线上。
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΚΜ, ΖΗ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΗ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΖ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
因为直线 ΘΗ 落在平行线 ΚΜ、ΖΗ 上，所以内错角 ΜΘΗ、ΘΗΖ 彼此相等。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΘΗΛ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ ταῖς ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἴσαι εἰσίν.
加入共同的角 ΘΗΛ；因此，角 ΜΘΗ、ΘΗΛ 之和等于角 ΘΗΖ、ΘΗΛ 之和。
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΛ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΘΗ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΜΛ, καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ ΜΛ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν· καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ΚΜ, ΖΛ·
但是，角 ΜΘΗ、ΘΗΛ 之和等于两直角；因此，角 ΘΗΖ、ΘΗΛ 之和也等于两直角；因此，ΖΗ 与 ΗΛ 在同一直线上。 又因为 ΖΚ 等于且平行于 ΘΗ，而 ΘΗ 等于且平行于 ΜΛ，所以 ΚΖ 也等于且平行于 ΜΛ；且直线 ΚΜ、ΖΛ 连接它们。
καὶ αἱ ΚΜ, ΖΛ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΖΛΜ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΘ παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ ΔΒΓ τῷ ΗΜ, ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ εὐθύγραμμον ὅλῳ τῷ ΚΖΛΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον.
因此，ΚΜ、ΖΛ 也等于且平行；因此，ΚΖΛΜ 是一个平行四边形。 又因为三角形 ΑΒΔ 等于平行四边形 ΖΘ，而 ΔΒΓ 等于 ΗΜ，所以整个直边形 ΑΒΓΔ 等于整个平行四边形 ΚΖΛΜ。
τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓΔ ἴσον παραλληλόγραμμον συνέσταται τὸ ΚΖΛΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΚΜ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ δοθείσῃ τῇ Ε· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因此，在等于给定角 Ε 的角 ΖΚΜ 内，作出了等于给定直边形 ΑΒΓΔ 的平行四边形 ΚΖΛΜ；这就是所要做的事。
§1.prop.46ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι.
在给定的直线上作一个正方形。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι.
设给定的直线为 ΑΒ；必须在直线 ΑΒ 上作一个正方形。
ἤχθω τῇ ΑΒ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ σημείου τοῦ α πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔ· καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ, διὰ δὲ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΒΕ. ἀλλὰ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση· αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΔ, ΔΕ, ΕΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ παραλληλόγραμμον.
在直线 ΑΒ 上的点 Α 处引一条垂线 ΑΓ，并截取 ΑΔ 等于 ΑΒ；通过点 Δ 作平行于 ΑΒ 的 ΔΕ，通过点 Β 作平行于 ΑΔ 的 ΒΕ。 因此，ΑΔΕΒ 是一个平行四边形；因此 ΑΒ 等于 ΔΕ，且 ΑΔ 等于 ΒΕ。 但是 ΑΒ 等于 ΑΔ；因此，四条直线 ΒΑ、ΑΔ、ΔΕ、ΕΒ 彼此相等；因此平行四边形 ΑΔΕΒ 是等边的。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.
我说它也是直角的。
ἐπεὶ γὰρ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ, ΔΕ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΔΕ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
因为直线 ΑΔ 落在平行线 ΑΒ、ΔΕ 上，所以角 ΒΑΔ、ΑΔΕ 之和等于两直角。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΕ. τῶν δὲ παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΑΒΕ, ΒΕΔ γωνιῶν· ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.
而角 ΒΑΔ 是直角；因此角 ΑΔΕ 也是直角。 在平行四边形中，对边与对角彼此相等；因此，对角 ΑΒΕ、 ΒΕΔ 的每一个也都是直角；因此 ΑΔΕΒ 是直角的。 而且它也被证明是等边的。
τετράγωνον ἄρα ἐστίν· καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας ἀναγεγραμμένον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因此，它是一个正方形；且它是作在直线 ΑΒ 上的；这就是所要做的事。