§1.prop.47ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
在直角三角形中，对直角的边上的正方形等于夹直角的两边上的正方形之和。
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
设 ΑΒΓ 是直角三角形，其角 ΒΑΓ 为直角；我说，在 ΒΓ 上的正方形等于在 ΒΑ、ΑΓ 上的正方形之和。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ·
因为，在 ΒΓ 上作正方形 ΒΔΕΓ，在 ΒΑ、ΑΓ 上作正方形 ΗΒ、ΘΓ；并且通过点 Α，引一条平行于 ΒΔ、ΓΕ 之一的直线 ΑΛ；并连接 ΑΔ、ΖΓ。
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν·
因为角 ΒΑΓ、ΒΑΗ 的每一个都是直角，所以对于一条直线 ΒΑ 及其上的点 Α，不位于同一侧的两条直线 ΑΓ、ΑΗ 使邻角等于两直角；因此，ΓΑ 与 ΑΗ 在同意直线上。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπʼ εὐθείας.
基于同样的原因，ΒΑ 与 ΑΘ 也在同一直线上。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.
因为角 ΔΒΓ 等于角 ΖΒΑ（因为每一个都是直角），加入共同的角 ΑΒΓ；因此整个角 ΔΒΑ 等于整个角 ΖΒΓ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον·
又因为 ΔΒ 等于 ΒΓ，且 ΖΒ 等于 ΒΑ，所以两个边 ΔΒ、ΒΑ 分别等于两个边 ΖΒ、ΒΓ；并且角 ΔΒΑ 等于角 ΖΒΓ；因此底边 ΑΔ 等于底边 ΖΓ，且三角形 ΑΒΔ 等于三角形 ΖΒΓ。
καὶ τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ.
而平行四边形 ΒΛ 是三角形 ΑΒΔ 的两倍，因为它们有相同的底边 ΒΔ，且在相同的平行线 ΒΔ、ΑΛ 之间；而正方形 ΗΒ 是三角形 ΖΒΓ 的两倍，因为它们又具有相同的底边 ΖΒ，且在相同的平行线 ΖΒ、ΗΓ 之间。 因此，平行四边形 ΒΛ 也等于正方形 ΗΒ。
ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν.
同理，在连接 ΑΕ、ΒΚ 时，平行四边形 ΓΛ 也将被证明等于正方形 ΘΓ；因此整个正方形 ΒΔΕΓ 等于两个正方形 ΗΒ、ΘΓ 之和。
καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις.
而正方形 ΒΔΕΓ 是在 ΒΓ 上作出的，ΗΒ、ΘΓ 是在 ΒΑ、ΑΓ 上作出的。 因此，边 ΒΓ 上的正方形等于边 ΒΑ、ΑΓ 上的正方形之和。
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在直角三角形中，对直角的边上的正方形等于夹直角的边上的正方形之和；这就是所要证明的事。
§1.prop.48ἐὰν τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν.
如果三角形中一边的正方形等于该三角形其余两边上的正方形之和，则其余两边所夹的角是直角。
τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τὸ ἀπὸ μιᾶς τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἔστω τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις· λέγω, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία.
设在三角形 ΑΒΓ 中，一边的正方形 ΒΓ 等于两边 ΒΑ、ΑΓ 上的正方形之和；我说，角 ΒΑΓ 是直角。
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΔ καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
因为，从点 Α 向直线 ΑΓ 引一条垂线 ΑΔ，并截取 ΑΔ 等于 ΒΑ，并连接 ΔΓ。 因为 ΔΑ 等于 ΑΒ，所以 ΔΑ 上的正方形也等于 ΑΒ 上的正方形。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
加入共同的 ΑΓ 上的正方形；因此，ΔΑ、ΑΓ 上的正方形之和等于 ΒΑ、ΑΓ 上的正方形之和。
ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία· τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ· ὑπόκειται γάρ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΔΓ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση·
但是，在 ΔΑ、ΑΓ 上的正方形之和等于 ΔΓ 上的正方形，因为角 ΔΑΓ 是直角；而在 ΒΑ、ΑΓ 上的正方形之和等于 ΒΓ 上的正方形，因为这是已知的；因此，ΔΓ 上的正方形等于 ΒΓ 上的正方形；从而边 ΔΓ 也等于 ΒΓ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΓ δύο ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΒΓ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση.
又因为 ΔΑ 等于 ΑΒ，且 ΑΓ 是共同的，所以两个边 ΔΑ、ΑΓ 等于两个边 ΒΑ、ΑΓ；并且底边 ΔΓ 等于底边 ΒΓ；因此角 ΔΑΓ 等于角 ΒΑΓ。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ.
ἐὰν ἄρα τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而角 ΔΑΓ 是直角；因此，角 ΒΑΓ 也是直角。 因此，如果三角形中一边的正方形等于该三角形其余两边上的正方形之和，则其余两边所夹的角是直角；这就是所要证明的事。