§1.prop.45τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
与えられた直線形に等しい平行四辺形を、与えられた直線角の中に作ること。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Ε· δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓΔ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ τῇ Ε.
ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ συνεστάτω τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΖΘ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΚΖ γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε·
与えられた直線形を ΑΒΓΔ、与えられた直線角を Ε とせよ。このとき、直線形 ΑΒΓΔ に等しい平行四辺形を、与えられた角 Ε の中に作らねばならない。ΔΒ が結ばれよ。
καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΗΘ εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε. καὶ ἐπεὶ ἡ Ε γωνία ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΖ, ΗΘΜ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΜ ἐστιν ἴση.
そして、三角形 ΑΒΔ に等しい平行四辺形 ΖΘ が、角 ΘΚΖ の中に作られよ。 この角は Ε に等しい。 そして、直線 ΗΘ に沿って、三角形 ΔΒΓ に等しい平行四辺形 ΗΜ が、角 ΗΘΜ の中にあてがわれよ。 この角は Ε に等しい。 そして、角 Ε は角 ΘΚΖ, ΗΘΜ のそれぞれに等しいので、角 ΘΚΖ も角 ΗΘΜ に等しい。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΚΘΗ·
共通のものとして角 ΚΘΗ が加えられよ。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ ταῖς ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἴσαι εἰσίν.
したがって、角 ΖΚΘ, ΚΘΗ の和は角 ΚΘΗ, ΗΘΜ の和に等しい。
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
しかし、角 ΖΚΘ, ΚΘΗ の和は二直角に等しい。
καὶ αἱ ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
したがって、角 ΚΘΗ, ΗΘΜ の和も二直角に等しい。
πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΗΘ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ δύο εὐθεῖαι αἱ ΚΘ, ΘΜ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν·
かくて、ある直線 ΗΘ およびその上の点 Θ において、同じ側にない二本の直線 ΚΘ, ΘΜ が、隣り合う角を二直角に等しくしている。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΜ·
したがって、ΚΘ は ΘΜ と一直線上にある。
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΚΜ, ΖΗ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΗ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΖ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
そして、平行線 ΚΜ, ΖΗ に直線 ΘΗ が交わったので、錯角である角 ΜΘΗ, ΘΗΖ は互いに等しい。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΘΗΛ·
共通のものとして角 ΘΗΛ が加えられよ。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ ταῖς ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἴσαι εἰσίν.
したがって、角 ΜΘΗ, ΘΗΛ の和は角 ΘΗΖ, ΘΗΛ の和に等しい。
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
しかし、角 ΜΘΗ, ΘΗΛ の和は二直角に等しい。
καὶ αἱ ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
したがって、角 ΘΗΖ, ΘΗΛ の和も二直角に等しい。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΛ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΘΗ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΜΛ, καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ ΜΛ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν·
したがって、ΖΗ は ΗΛ と一直線上にある。 そして、ΖΚ は ΘΗ に等しくかつ平行であり、他方で ΘΗ は ΜΛ に等しくかつ平行であるので、ΚΖ も ΜΛ に等しくかつ平行である。
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ΚΜ, ΖΛ·
そして、直線 ΚΜ, ΖΛ がそれらを結んでいる。
καὶ αἱ ΚΜ, ΖΛ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν·
したがって、ΚΜ, ΖΛ も等しくかつ平行である。
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΖΛΜ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΘ παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ ΔΒΓ τῷ ΗΜ, ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ εὐθύγραμμον ὅλῳ τῷ ΚΖΛΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον.
したがって、ΚΖΛΜ は平行四辺形である。 そして、三角形 ΑΒΔ は平行四辺形 ΖΘ に等しく、三角形 ΔΒΓ は ΗΜ に等しいので、全体の直線形 ΑΒΓΔ は全体の平行四辺形 ΚΖΛΜ に等しい。
τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓΔ ἴσον παραλληλόγραμμον συνέσταται τὸ ΚΖΛΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΚΜ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ δοθείσῃ τῇ Ε·
したがって、与えられた直線形 ΑΒΓΔ に等しい平行四辺形 ΚΖΛΜ が、Ε に等しい角 ΖΚΜ の中に作られた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそ作図すべきことであった。
§1.prop.46ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι.
与えられた直線から正方形を描くこと。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι. ἤχθω τῇ ΑΒ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ σημείου τοῦ α πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔ·
与えられた直線を ΑΒ とせよ。このとき、直線 ΑΒ から正方形を描かねばならない。直線 ΑΒ に、その上の点 Α から直角に ΑΓ が引かれ、ΑΒ に等しい ΑΔ が置かれよ。
καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ, διὰ δὲ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ·
そして、点 Δ を通り ΑΒ に平行な ΔΕ が引かれ、点 Β を通り ΑΔ に平行な ΒΕ が引かれよ。 したがって、ΑΔΕΒ は平行四辺形である。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΒΕ. ἀλλὰ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση·
したがって、ΑΒ は ΔΕ に等しく、ΑΔ は ΒΕ に等しい。 しかし、ΑΒ は ΑΔ に等しい。
αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΔ, ΔΕ, ΕΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
したがって、四つの辺 ΒΑ, ΑΔ, ΔΕ, ΕΒ は互いに等しい。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ παραλληλόγραμμον.
したがって、平行四辺形 ΑΔΕΒ は等辺である。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.
次に、それが長方形でもあると言う。
ἐπεὶ γὰρ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ, ΔΕ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΔΕ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
なぜなら、平行線 ΑΒ, ΔΕ に直線 ΑΔ が交わったので、角 ΒΑΔ, ΑΔΕ の和は二直角に等しいからである。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ·
ところで角 ΒΑΔ は直角である。
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΕ. τῶν δὲ παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
したがって、角 ΑΔΕ も直角である。 また、平行四辺形の面積においては、対面する辺と角は互いに等しい。
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΑΒΕ, ΒΕΔ γωνιῶν·
したがって、対角である角 ΑΒΕ, ΒΕΔ のそれぞれも直角である。
ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.
したがって、ΑΔΕΒ は長方形である。 また、それは等辺であることも示された。
τετράγωνον ἄρα ἐστίν·
したがって、それは正方形である。
καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας ἀναγεγραμμένον·
そして、それは直線 ΑΒ から描かれている。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそ作図すべきことであった。