§1.prop.45τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
주어진 직선각 안에 주어진 직선다각형과 크기가 같은 평행사변형을 작도하는 것。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Ε·
주어진 직선다각형을 ΑΒΓΔ, 주어진 직선각을 Ε라 하자.
δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓΔ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ τῇ Ε.
ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ συνεστάτω τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΖΘ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΚΖ γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε·
직선다각형 ΑΒΓΔ와 크기가 같은 평행사변형을 주어진 각 Ε 안에 작도해야 한다.
καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΗΘ εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε. καὶ ἐπεὶ ἡ Ε γωνία ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΖ, ΗΘΜ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΜ ἐστιν ἴση.
ΔΒ가 연결되라. 그리고 삼각형 ΑΒΔ와 크기가 같은 평행사변형 ΖΘ가 각 ΘΚΖ 안에 만들어지라. 이 각은 Ε와 크기가 같다. 그리고 직선 ΗΘ에 대고 삼각형 ΔΒΓ와 크기가 같은 평행사변형 ΗΜ이 각 ΗΘΜ 안에 붙여지라. 이 각은 Ε와 크기가 같다. 그리고 각 Ε가 각 ΘΚΖ, ΗΘΜ 각각과 크기가 같으므로, 각 ΘΚΖ 역시 각 ΗΘΜ과 크기가 같다.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΚΘΗ·
공통인 각 ΚΘΗ가 더해지라.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ ταῖς ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 ΖΚΘ, ΚΘΗ의 합은 각 ΚΘΗ, ΗΘΜ의 합과 크기가 같다.
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
그런데 각 ΖΚΘ, ΚΘΗ의 합은 두 직각과 크기가 같다.
καὶ αἱ ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 ΚΘΗ, ΗΘΜ의 합 역시 두 직각과 크기가 같다.
πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΗΘ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ δύο εὐθεῖαι αἱ ΚΘ, ΘΜ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν·
따라서 어떤 직선 ΗΘ와 그 위의 점 Θ에 대하여, 같은 쪽에 놓이지 않은 두 직선 ΚΘ, ΘΜ이 이웃하는 각들의 합을 두 직각과 같게 만든다.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΜ·
그러므로 ΚΘ는 ΘΜ과 일직선상에 있다.
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΚΜ, ΖΗ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΗ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΖ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
그리고 평행한 직선들 ΚΜ, ΖΗ에 직선 ΘΗ가 만났으므로, 엇각인 각 ΜΘΗ, ΘΗΖ는 서로 크기가 같다.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΘΗΛ·
공통인 각 ΘΗΛ이 더해지라.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ ταῖς ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 ΜΘΗ, ΘΗΛ의 합은 각 ΘΗΖ, ΘΗΛ의 합과 크기가 같다.
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
그런데 각 ΜΘΗ, ΘΗΛ의 합은 두 직각과 크기가 같다.
καὶ αἱ ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
그러므로 각 ΘΗΖ, ΘΗΛ의 합 역시 두 직각과 크기가 같다.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΛ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΘΗ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΜΛ, καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ ΜΛ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν·
그러므로 ΖΗ는 ΗΛ과 일직선상에 있다. 그리고 ΖΚ는 ΘΗ와 크기가 같고 평행하며, 한편 ΘΗ는 ΜΛ과 크기가 같고 평행하므로, ΚΖ 역시 ΜΛ과 크기가 같고 평행하다.
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ΚΜ, ΖΛ·
그리고 직선 ΚΜ, ΖΛ이 그것들을 연결한다.
καὶ αἱ ΚΜ, ΖΛ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν·
그러므로 ΚΜ, ΖΛ 역시 크기가 같고 평행하다.
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΖΛΜ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΘ παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ ΔΒΓ τῷ ΗΜ, ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ εὐθύγραμμον ὅλῳ τῷ ΚΖΛΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον.
그러므로 ΚΖΛΜ은 평행사변형이다. 그리고 삼각형 ΑΒΔ는 평행사변형 ΖΘ와 크기가 같고, ΔΒΓ는 ΗΜ과 크기가 같으므로, 전체 직선다각형 ΑΒΓΔ는 전체 평행사변형 ΚΖΛΜ과 크기가 같다.
τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓΔ ἴσον παραλληλόγραμμον συνέσταται τὸ ΚΖΛΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΚΜ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ δοθείσῃ τῇ Ε·
그러므로 주어진 직선다각형 ΑΒΓΔ와 크기가 같은 평행사변형 ΚΖΛΜ이, Ε와 크기가 같은 각 ΖΚΜ 안에 작도되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 작도하고자 했던 일이다。
§1.prop.46ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι.
주어진 직선으로부터 정사각형을 그리는 것。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ·
주어진 직선을 ΑΒ라 하자.
δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι.
직선 ΑΒ로부터 정사각형을 그려야 한다.
ἤχθω τῇ ΑΒ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ σημείου τοῦ α πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔ·
직선 ΑΒ에 대하여 그 위의 점 Α로부터 수직하게 ΑΓ가 그려지고, ΑΒ와 크기가 같은 ΑΔ가 놓여라.
καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ, διὰ δὲ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ·
그리고 점 Δ를 지나고 ΑΒ와 평행한 ΔΕ가 그려지고, 점 Β를 지나고 ΑΔ와 평행한 ΒΕ가 그려지라. 그러므로 ΑΔΕΒ는 평행사변형이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΒΕ. ἀλλὰ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση·
그러므로 ΑΒ는 ΔΕ와 크기가 같고, ΑΔ는 ΒΕ와 크기가 같다. 그런데 ΑΒ는 ΑΔ와 크기가 같다.
αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΔ, ΔΕ, ΕΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
그러므로 네 직선 ΒΑ, ΑΔ, ΔΕ, ΕΒ는 서로 크기가 같다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ παραλληλόγραμμον.
그러므로 평행사변형 ΑΔΕΒ는 등변이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.
이제 그것이 직각 사각형이기도 하다고 나는 말한다.
ἐπεὶ γὰρ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ, ΔΕ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΔΕ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
왜냐하면 평행한 직선들 ΑΒ, ΔΕ에 직선 ΑΔ가 만났으므로, 각 ΒΑΔ, ΑΔΕ의 합은 두 직각과 크기가 같기 때문이다.
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ·
그런데 각 ΒΑΔ는 직각이다.
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΕ. τῶν δὲ παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
그러므로 각 ΑΔΕ 역시 직각이다. 그리고 평행사변형 영역에서는 마주보는 변들과 각들이 서로 크기가 같다.
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΑΒΕ, ΒΕΔ γωνιῶν·
그러므로 마주보는 각들인 ΑΒΕ, ΒΕΔ 각각 역시 직각이다.
ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.
그러므로 ΑΔΕΒ는 직각 사각형이다. 그리고 그것이 등변임도 증명되었다.
τετράγωνον ἄρα ἐστίν·
그러므로 그것은 정사각형이다.
καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας ἀναγεγραμμένον·
그리고 그것은 직선 ΑΒ로부터 그려졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 작도하고자 했던 일이다।